Для звена OA:

К = ~(СуК~ СЩ = - [OCi cos 30" - OCi cos (30° + ф)] = = - [cos 30° - (cos ЗО cos ф, - sm 30° sm Ф1)] = = - ( 2) • [cos 30° (1 - cos Ф1) +sin 30° sin Ф1]. Учитывая малость ф, получаем:

I - С08ф1 = 2 51п2(ф1/2) яф;/2 и 51Пф1«аф1.

Тогда

К = - 4 [(КЗ/2). ф + ф J = 4 (0,866ф + Ф1). Для звена АВ:

/22 = (1/2) 1и\

так как /ij = 2/zi, то

/2, = /ii = -( 4) (0,866ф; + Ф1).

Для звена FD:

Лз = - (ВС, - Вс; cos Фз) = - ВСз (1 - cos Фз) = - ВСз ф:,/2.

Так как - однородный стержень, то

БСз = (1/2) (/cos 30° + /?) = 1/2 /(0,866+ 0,3) = 0,583/.

Используя значение угла ф, найденное выше, получаем

/гз = -0,583/ (3,85ф1)=/2 = -4,32/ф7.

Подставляя выражения для вертикальных перемещений центров тяжести в формулу (7), получаем значения потенциальной энергии элементов в поле сил тяжести

Яо, = -0,25О1/(0,866ф1 + ф1); (8)

Яо, = -0,25С2/(0,866ф; + Ф1), (9)

Ясз = -4,320з/фЬ (10)

Потенциальная энергия системы равна сумме выражений (4), (5), (6), (8), (9) и (10). После приведения подобных членов по степеням обобН1,енной координаты ф1 имеем.

Я = (1/2) ф,7 [13,18ci + l,32c2 +Сз)/-0,433 (Gi + G2)-8,65G3]-I-+ Ф1/ [-0,25(Gi + G2) + c,/„j].

Из условия равновесия (1) следует, что

(аЯ/аф1)<р, = о = - 0,25 (Gi + G2) + Ci/„3 = 0.

поэтому

я = (1/2) / [13,18с1+1,32с2 + Сз)/-0,433 (С1 + 02)-8,65С,]ф?. (11)

После двукратного дифференцирования выражения потенциальной энергии (10) но обобщенной коо)5дииате Ф1 получаем:

аЯ/Эф? = / [(13,18q + 1,32с2 + с,) / - 0,433 (G + G) - 8,65G3].

в соответствии с неравенством (2) условие устойчивости рассматриваемого состояния покоя механической системы, изображенной на

рис. 229, примет вид:

/(13,18с, + 1,32с2+с,)-

- 0,433 (Gi + G,)-- 8,65Сз > О,

fi0.5L

Рис. 2,35

что равносилыю:

/(C3+I,32q+I3,18ci)> > 0,433 (G1 + G2 + 2OG3).

При выполнении этого неравенства заданное положение покоя является устойчивым.

Б. Определение условий устойчивости состояния покоя механической системы с двумя степенями свободы. Определить условия устойчивости заданного состояния покоя консервативной механической системы с двумя степенями свободы. Принять, что варианты механических систем в состоянии покоя получаются из схем, изображенных на рис. 226-228, следующи.м образом: а) в вариантах 1 -15 стержень А В заменяется невесомой пружиной с коэффициен-то.м жесткости с, при этом в вариантах 4, 9, 14 диск с центром В получает возможность вращаться, скользя без трения но опоре; б) в вариантах 16-30 считать, что в точке D находится шарнир и спиральная пружина с коэффициентом крутильной жесткости с. Во всех вариантах пружины с коэффициентами жесткости с, q н с в положении покоя не деформированы.

Пример выполнения задания. Определить условия устойчивости для механической системы с двумя степенями свободы, изображенной в положении покоя на рис. 235. Эта схема получена из механической системы, рассмотренной в предыдущем примере. Дано: веса элементов С, G, G3; коэффициенты жесткости упругих элементов

Рнс. 236

Cj, Co, С) и с; длина стержня OA - lvi радиус диска R --- 0,31. Известно, что спиральная пружина и пружины с коэффнииснгами жесткости Cj и с. в положе1п[и покоя tie деформированы.

Решение. Выберем в качестве обобщеРН1ых координат углы (р и 6я, на которые стержни / и 3 отклоняются из положитя покоя. Оба угла отсчитываем в одном нанравленин (см. рис. 236).

Исследуемая спсте.ма является консервативной, поэтому при (pj=0 и 63 = 0 должны выполняться равенства:

(аЯ/Л(1),г,-0 = 0; (г}я/с)оз)ф,. о-0. (1)

f,,,0 G, О

По теореме Лагранжа -Дирихле состояние покоя рассматриваемой системы яачяется устойчивым, если наряду с равенствами (1) выполняются два ЭСТОНИЯ Сильвестра:

1. f,i>0 или tv>0; 2. =СцС.,,-с;>0. (2)

где Гц, С.22 и fj., - коэффициенты жесткости системы, вычисляемые

1-., = ((?/7/(?фОг, - о; f „ - id41/d(i:;),f, - 0;

6,-0 0,-0

Су2--с.2г-{д-П/(к,дв,),-о. (3)

Oj о

При этом обобш,еннь[е координаты (d и о3 считаются малылш. Соотношения (3) при вычислении потенциальной энергии позволяют ограничиться слагаемыми второго порядка .малости относительно обоб-[ценных координат.

Так как потенциальная энергия системы определяется суммой работ сил тяжести и сил упругости при иеремеи1еиин системы из (яклоненного положения в нулевое (положение гюкоя), то деформации пружин, не нагруженных в положении покоя, вычисляются с точностью до величин первого порядка малости, а вертикальные смещения центров тяжести тел и деформации пружин, нагруженных в положении покоя, -с точностью до величин второго порядка ма-лост1[ включительно.

Для достижения указанной точности в выражениях углов поворота элементов рассматриваемой системы достаточно ограничиться величинами первого порядка малости относительно ц\ и 6,.

При повороте стержня / (ОЛ) на угол Ф1, а стержня 3 (DF) на угол 63, все точки системы занимают новое положение. Иа рис. 236 точки, обозначенные буквами с верхним индексом в виде од1юго штриха, соответствуют положеиия.м, показанным с точностью до величин первого 1юрядка малости относительно ф) и б,, а точки, обозначенные буквами с верхним индексо.м в виде дв)х штрихов, соответствуют положениям, в которых учтены перемеще1п1я второго порядка малости.

Опишем перемещения элементов снсте.чы, ограничиваясь величинами первого порядка .малости. Перемеи1ення звеньев OA, АВ и диска с центром в точке В полностью определяются обобщенной