22 23

30 3

fj, - радиус "инерции относительно оси, проходящей через центр тяже1.ти и перпендикулярной к плоскости рисунка

m, = mi

Система расположена в горизонтальной плоскости, в которой происходит движение. В положении покоя пружины не деформированы

Система расположена в горизонтальной плоскости, вко-торой происходит движение. В положении покоя пружины не деформированы. Тело J принять за ма-териа.йьиую точку

В положении покоя пружины не деформированы. Тело 1 состоит из трех одинаковых стержней

Потенциальную энергию пружин найдем, рассматривая сначала перемещение системы из отклоненного положения в положение, соответствующее недеформированным пружинам, а затем из этого положения -в положение покоя.

Деформации пружин следующие: Jij =/фгЬ/ - для пружины с коэффициентом жесткости с; 2 =/аф±/«2 - Для пружины с коэффициентом жесткости Cg; Я3 =/„з-fзФ + г - для пружины с коэффициентом жесткости Сз.

Следовательно,

/7„ = (1 /2). ci (/,ф ±: W - (1 /2) • сДг, -f (1 /2) • с, (1, ± W -- (1 /2) • с,Гы -М1 /2) • Сз (/,,3 + /зф + - (1 /2) • С/Е.з или после упрощений

Яп = (1 /2) • с,/1ф2 + (1 /2) • С2/ф + (1 /2) • Сз (/зф + гГ ± ± сАпЧ ± С2/2/СТ2Ф + Сз/стз (зФ + г). Потенциальная энергия всей системы n = -G,z + [G2 (4 - /i)/21 • Ф + (1 /2) • с,/?ф2 + (1 /2) С2/.1ф2 4-+ (1/2) • сз/ф2 + сз/зфг + (1 /2) • сзг ± с ф ± Сг/з/стгФ +

+ Сз/стз4Ф + Сз/стз2.

Из условий покоя рассматривае.мой системы, находящейся под действием сил, имеющих потенциал, имеем:

(ая/аг). = о = - «1 + Сз/стз = 0;

Ф-=и

(аЯ/Эф). = „ = G2 =t C,/i/„l ± С2/2/ст2 + СзУстЗ = 0.

Потенциальная энергия системы с учетом условий покоя имеет вид

Я = (1 /2) • С1/]ф2 + (1 /2) • С2/.1ф2 -f (1/2) Сз/5ф2 + С3/32Ф + (1/2) • сг\ Таким образом,

Г=(1/2)-т12 + (1/2)-УоФ; Я = (1 /2). с,2 + сз/згф + (1 /2) (cjl + cS + сИ) ф

Г = (1/2) (а112М-2а12гф + а22Ф);

Я = (1/2)(с,122 + 2С122ф + С22ф).

Здесь a,j - коэффициенты инерции:

= т; ai2 = 0; «22 = Jo, с,у - коэффициенты жесткости:

11=3. <12=Сз/з, = Cj/j-1-C2/.2-I-C3/5.

Для рассматриваемой консервативной системы уравнения Лагранжа имеют вид:

d jdT \ йТ дП J [Sr \ йТ аП dt \ dz j дг ~ dz dt \дц> J d(f ~ d<f

Вычислив производные

дТ дТ . d (дТ\ .. дП

дТ дТ . d I дТ\ ., дП

И подставив их в уравнения Лагранжа, получим:

aifi = - Cy-z - С12Ф; ОгаФ = - C2i2 - С22Ф,

где C2i = Ci2.

Таким образом, для данной системы дифференциальные уравнения свободных колебаний имеют вид:

«11 + CiyZ + С12Ф = 0; Й22Ф + C21Z + С22Ф = 0.

Частное решение этих уравнений:

2 = isin (/ + Р); ф = Л2 51п (/ + Р).

Обозначим р, отношение обобщенных координат, равное отношению амплитудных значений ф и 2:

Ф/г = 2Mi = p,

Тогда

2 = 1 sin + ф = рг = иЛ1 sin (*/ + Р).

Величина р характеризует формы главных колебаний и называется коэффициентом распределения.

Подставив значения 2 и ф в систему дифференциальных уравнений, получим:

- йцй -f Сц -f Ci2M- = 0; - a,2.\>-k -f су -\- сгь о, откуда, после исключения р, получим уравнение частот: (11 - «11) (С22 - 22*) - q.2 = 0.

Так как

%1 = "1 = 0,5 кг, = сз = 40 Н/см -= 4000 Н/м; С12==Са/з = 4000-0,3= 1200 Н, «22 = 0 = 0,28 кгм: С22 = СуП + cUl + c-sll = 6000 -0,22 + 4000 -0,6 + 4000 • 0,3 = 2040 Нм, то уравнение частот

(4000- 0,5/j2) (2040 - 0,28) - 1200 = О

0,07й*- 10702 + 3 360 000 = 0. Квадраты корней этого уравнения

,п 1070 :t: 1/1070- -4 0,07-3 :iGO ООО

«1.2- оТй «

Д:? = 4414, Д:= 10 870. Следовательно, частоты свободных колебаний Ai = 66,4 с-1; А:2 = 104с1.