вытекает, что в первом интервале A<Q и Лф>0. С ростом величины р амплитуды колебаний стержня и груза возрастают, при этом колебания стержня происходят в одной фазе с изменением возмущающего момента, а колебания груза -в противофазе (рис. 257, а).

При р = 0 имеем: Лф = фо = 0,01 рад и A = Zo = -0,003 м.

При p = ky = 66,4 с~1 в системе наступает первый резонанс и функции Аг, и Лф претерпевают бесконечный разрыв (рис. 256).

2. i<p<2- Так как ky<k,, то p-k\>0, а p-k\<0. Следовательно, знаменатель формул (8) и (9) отрицателен. Из этого

S] М

4 О Л 0

Рис. 257

следует, что во втором интервале Аг>0,т. е. колебания груза происходят синфазно с изменением возмущающего мо.мента (рис. 257, б, в).

При определении знака функции А необходимо рассмотреть числитель формулы (9). Если fei<p <l/cii/ai,, то Лф<0, и колебания стержня происходят в противофазе с воз.мущающим моментом

(рис. 257,6). Если /fii/<3ii <р <2. то Лф> О, и колебания стержня так же, как и груза, синфазны с изменением М (рис. 257, в).

При р =]/f 11/Оц =]/ 4000/0,5 = 89,4 с -первая парциальная частота (частота собственных колебаний системы, изображенной на рис. 258, а) амплитуда вынужденных колебаний стерл<ня равняется нулю (Лф = О -случай антирезонанса). В это.м случае груз массой может рассматриваться как гаситель колебаний стержня. Величину Аг в этом режиме проще определить по формуле (6):

Лг = Л1оС12/с2 = Л1о/г12= 16,6/1200 = 0,014 м.

Амплитуда колебаний стержня \Az\ убывает до нуля при воз-растании р от до Усу/а, а затем с увеличением р от Усу/а до возрастает. При р = VcJai = /2040/0,28 = У 7290 = 85,4 с" - вторая парциальная частота (частота собственных колебаний системы, изображенной на рис. 258, б) по формулам (6) и (7) находим:

Л = Л1о/С12 = 16,8/1200 = 0,014 м; А, = - obn-anicM 16,8 (4000-().5. 7290) , 000414 рзд.

При изменении р в интервале от до функция А для амплитуды вынужденных колебаний груза имеет минимум, соответствую-

Рис. 258

щий максимуму знаменателя формул (6) и (7). Взяв от этого выражения производную но р и приравняв ее нулю, получим:

2Qua.2P - («1122 + ОзгСц) = 0;

откуда найдем значение р, при котором достигает минимума:

2 \а.22 flu У

2040 4000 87 4 с 1 0,28 + 0,5 У - •

(10)

При p = 2 = 104 С"! в системе наступает второй резонанс. 3. 2<р<оо. Так как *i<2, то p - k\>0 и р -*,]>0, следовательно, знаменатель формул (8) и (9) положителен. Учитывая,

что 2>]Cji/flii> можно заключить, что в этом интервале и АСО, и Лф<0, т. е. колебания происходят в противо(зазе с возмущающим моментом (см. рис. 257, г). С возрастанием р амплитуды вынужденных колебании i/ll и Лф уменьшаются, стремясь к нулю.

Отношение фут<ций .4ф и Л, определяющих амплитуды вынужденных колебаний стержня и груза (коэффициент формы вынужденных колебаний), получим, разделив (9) на (8):

Л ф/Л, = - (Сц - flnP)/Ci2 = - (4000 - 0,5р2)/1200. При р = 0

Лф/Л, = - c,i/Ci2 = - 4000/1200 = - 3,33 рад/м.

При p = ki = 66,4: С 1

ЛфМ, = p-i = - 1,49 рад/м. При p = KW-89,4 с 1

При = 2 = 104 с 1

ЛфМ, = [12= 1,2 рад/м.

График зависимости А/А;, от частоты возмущения р показан на рис. 259. При резонансах формы вынужденных и свободных колебаний совпадают (см. рис. 253).

т 110{с-)

Рис. 259

Для исследования резонансных колебаний {p = ky и p = k.2) осу-HiecTBHM переход к главным координатам системы: Цх и ц- Они связаны с координатами г и ф соотношениями:

2=-% + %; ф--.1111,+Н-211-2- (12)

Дифференциальные уравнения колебаний механической системы с двумя степенями свободы в главных координатах и г\2 при обобщенных возмущающих силах:

Qi = 1 sin ipl + 6); Q2 = Н-2 sin (pi + б), соответствующих обобщенным координатам и q., имеют вид:

п, + й;г11 =

sin (р/--б).

Й1 =- Оц + 2flj.2ai + й мИ "1; й2 + 2ai2,"-2 Н- rtoell.

(13)

(14)

р,1 и р.2 - 1,озффиЦ;ситы распределения обобщенных координат и 2 при свободных колебаниях.