л - о "-in j - fg coses.

Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

Xi=-g-(sincd - /cosа) t + C,

Xi = [g (Sin a - / cos a)/2] i- + Ci + C.

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при / = 0 л:,о = 0 и iio = 0. Составив уравнения, полученные при иитегрироваиии, для / = 0

найдем постоянные:

4 = 0, Q = 0.

Тогда

iinf (siiici -/coscc) t\ Xi = [g(sina-/ cos я)/2] P. Для момента т, когда ка.мень покидает участок,

x-i = vb; 1 = 1,

т. е.

Vn = g{4U)a-[cosa) т; l = [g (sina-/cosoj)/2]-T2,

откуда

Vb = 21/t,

т. е.

у,, = (2.4)/1 =8 м/с.

Рассмотрим движение камня эт точки В до точки С

Показав силу тяжести G, действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:

тх=0; ту = 0.

Интегрируем первое из этих уравнений:

X = Cgj X - Ci -j- с4.

Постоянные интегрирования С, и с4 определим, используя начальные условия задачи: при / = 0 Xq--0, .Vo = г,/; cos а.

С помощью уравнений, полученных при интегрировании и состав-ле1тых для / = 0,

Xq = с3; Xq = C,

найдем, что

Сз = Уд coses; с4 = 0.

Тогда

y,jCOSa; х = oleosa-/. Интегрируя уравнение my = G, имеем:

y = gt + Cr,; y = gr-/2 + C,t + C,.

Начальные условия: при / = 0 Уо = 0 уо=--vnsiua.. Из уравнений, полученных интегрированием и составленных для / = 0,

Уо = Q; Уо = Qi

найдем, что

C? = fesinoc и Cq = 0.

Окончательно

У = Ц( + v,i sin а; = g/*/2 + Vg sin a •

Таким образом, уравнения движения камня имеют вид

/=z,ijCOSa-/; t/ = g-/*/2-f y/jsina-/.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

В момент падения т. е.

у „ „ .,--1-X[ра.

Ivj cos а °

= = S м, а x = d.

откуда так что

di,2 = -2,82 :L4,93, d=-2,n м, й!, = -7,75 м.

Поскольку траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d = 2,\\ м. ]Минимальная ширина полки

b = d-£D = d-ft/tg75" = 2,ll -5/3,73 = 0,77 м.

Используя уравнение движения камня л" = cosa •/, найдем время Т движения камня от точки В до точки С:

2,11 = 8 0,57,

откуда

Г = 0,53 с.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на осп координат:

X-=vи cosOL, у = gi-\-vи sma по формуле

Для момента падеш(я /=7 = 0,53с

Ус - У {п cos а)- + {gr + Уд sin к)* = = Y(8-0,5)*-i-(9,81 -0,53 + 8-0,87)* = 12,8 м/с

Задание Д-2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Найтн уравнения движения тела М массой т (рис. 139 - 141), прииимае\10го за материальную точку и находящегося по,а действием переменной силы Р = Xi -{-Yi -\~ Zk, ири заданных начальных условиях. Во всех вариантах, где показана ось z, эта ось вертикальна, за исключением вариантов 8 и 30.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 45, в которой приняты следующие обозначения: г, /, /г -орты коор.тинатных осей (соответствсшю х, у, г); gf -ускорение свобо.июго падения (9,81 м/с-); / - коэффициент трения скольжения; / - время в с; л, у, Z, х, у, г -координаты точки и проекции ее скорости иа оси координат соответственно в м и м/с.

Во всех случая:;, где сила Р зависит от л, х, г, г, рассмотреть движение точки, при котором эти величины только положительны.

Пример выполнения задания. Даио: т= \ кг, Р = -4/-(t cosф+ -\-k$m;)H; ,го= 10 м; ?o = 0, .го = 0, io = 40 м/с (рис. 142, а).

Найти уравнения движения.

Решение. .Чатериальная точка М находится иод действием силы тяжести G и силы Р, линия действия которой проходит через неподвижный центр О (рис. 142, б). Сила Р притягивает точку М к центру О. Модуль силы прямо пропорциоиалеи расстоянию г от точки до полюса О.

" В начальный момент времени (/ = 0) точка уИ находится на оси х на расстоянии 10 м от начала отсчета и ей сообщается начальная скорость 40 м/с, направлеЕшая вверх по вертикали.

Заданные силы Р, G и вектор начальной скорости расположены в плоскости xOz и поэтому дальнейшее движение точки происходит в этой плоскости.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки имеют вид:

Сумма проекций сил иа оси координат равна:

•Х, =Р, = -4/-со5ф, vz, = P,-G=- -4/-sin(p-G. Так как со8ф = .у -, sin ф =? -, то

vXi- -4.v, VZ,-42-G.

С учетом исходных дати>1х

X = - 4х, 2 = - 4 г - g

или ,

jc + 4A--0; (1)