безынерционным. Условия устойчивости ламинарного течения в торцовом зазоре имеют вид

Re, < Re,,p; Re„ < Re„, (8.18)

где Re, = 2vrh/v; Re = (orh/v - числа Рейнольдса для радиального и окружного течений в зазоре; ReKp, Re„Kp -критические значения чисел Рейнольдса, порядок которых равен соответственно 10=" и 10

При выполнении условий (8.18) распределение давления в зазоре в общем случае описывается дифференциальным уравнением Рейнольдса

,3 Р Ф

д(р \ ц дц>

+ 12/(r,9)pt;. = 6(co-h2-

Зф dt

iph). (8.19)

В этом уравнении первые два члена характеризуют течение по зазору в радиальном и окружном направлениях. Третий член учитывает втекание жидкости в зазор уплотнений с проницаемыми кольцами (здесь /(г, ф) - функция, задающая распределение расхода втекающей жидкости по уплотнительной поверхности, причем f(r, ф) = 1 на проницаемых участках и /(г, ф) = О на непроницаемых участках; и? - скорость втекания). Слагаемые правой части уравнения (8.19) отражают соответственно гидродинамические и нестационарные процессы.

Решение уравнения (8.19) должно удовлетворять граничным условиям: р = Pj при г = г/, р = Ра при г = Гд, а также условию периодичности р (г, ф) = = р (г, ф -Н 2я).

При изотермическом течении идеальных газов (р ~ р) в уравнении (8.19) плотность среды р заменяют давлением р. При изотермическом течении несжимаемых жидкостей (р = const) из уравнения Рейнольдса исключают плотность р и оно становится линейным относительно давления р.

Рис. 8.36. Геометрия уплотнительной пары торцового уплотнения

Когда распределение давления в зазоре р = р {г, ф) определено, рассчитывают усилие, раскрывающее уплотнительный стык:

Р= J i{p-Pa)rd<pdr. О г,

Это усилие зависит от высоты зазора ho (рис. 8.36). Значение ho, соответствующее равновесному положению уплотнения, находят из условия равновесия подвижного уплотнительного кольца в осевом направлении

P(ho) = F„

где Fz - усилие, нагружающее уплотни-тельную пару.

Усилие является суммой силы упругости пружин или сильфона Fnp и гидравлической нагрузки Рр = 0,25п {Dl - - d) р (см. рис. 8.5).

После определения высоты зазора рассчитывают статические и динамические характеристики уплотнения:

объемные или массовые утечки

i 2п

rhir, ф)

др дг

dtp;

моменты, противодействующие угловым перекосам уплотнительных колец (см. рис. 8.36),

2п г.

О г,

COS ф

dcpdr;

осевую гидромеханическую жесткость

dho

компоненты угловой жесткости

где L, N - координатные оси х или у;

коэффициенты демпфирования осевых и угловых перемещений подвижного уплотнительного кольца

В„ = -

др aMi

где точками обозначены производные по времени; мощность трения в торцовом зазоре

2л Гг

h(r, ф)

d(p dr.

о <

Ра в)

Рис. 8.37. Геометрия и схемы уплотнений со спиральными канавками: а - канавки со стороны уплотняемого давления; б - шевронные канавки; в - канавки со стороны окружающей среды

Для торцовой щели с плоскопараллельным зазором при ламинарном изотермическом течении массовые утечки Q„ (для идеальных газов) и объемные Q (для несжимаемых жидкостей) рассчитывают по формулам

nhl(pl~pl) .

\2\хКТ\п{гг1г,) nhl{p,-pa)

(8.20)

6ц1п(г2/г1)-

Статические и динамические характеристики уплотнений с плоскопараллельными щелями при течении несжимаемых жидкостей

Р = я

In (rjra)

яцсо (rl - rt)

K,, = 0; B„ =

,4 ,4 (rl-rir

xx = Kj,y -

Зяро

8/jo In (rjr,)

-4 „4

Гг - ri

Kxy = - K,, = 0,5яцсо(г1 - rlf/hl; В,, = В„ = яц(г1-г?)7А?; Bxy = Byj, = 0,

где Po = Ps - Pe - перепад давлений.

На основе анализа характеристик уплотнения (обычно из условия максимума гидромеханической жесткости) определяют значения параметров, соответствующие оптимальному режиму. Ниже для ряда конструкций гидродинамических и гидростатических уплотнений приведены расчетные зависимости и графики, а также оптимальные значения режимных и конструктивных параметров.

Уплотнение со спиральными канавками. Распределение давления в зазоре находят из дифференциального уравнения, полученного Вором и Пэном применительно к упорным подшипникам в предположении о большом числе капа-

вок для стационарного осесимметрич-ного изотермического течения в зазоре: для газов

Af - 2ВАРр= - й„; (8.21)

для несжимаемых жидкостей

Af-BA*P= Q, (8.22)

где f = г/г 2 - безразмерный радиус; р = = Р/Рв; П = (р - Pa)/(Ps - Ра) - безразмерные абсолютное и избыточное давления; Л = 6цсог/(р),

A* = 6mrl/[(Ps-Pa)hl]-параметры, характеризующие гидродинамические процессы;

Q„ = 12iQ„/(n/i3„p„p„);

е = 6ц0/№(р,-р„)]-

безразмерные массовые и объемные утечки; А, В - постоянные канавки Уиппла;

+ а (1 - а) (Я - 1) cos р а-1-Я(1-а)

а(1 -а)(ЯД-1)(Я- l)sinPcosP

а + ЯЗ(1 - а)

(8.23)

Здесь Н = {h„ + Ю1К; а = aj(a,, + а„); К, К, Яп, «к. Р - размеры, указанные на рис. 8.37.

Уравнения (8.21), (8.22) записаны для области канавок АС. Для области перемычки ВС в этих уравнениях необходимо принять А = I, В = 0. На границе канавок и перемычки должно выполняться условие непрерывности давления.

Уравнение (8.21) интегрируется на ЭВМ с использованием численных методов. Решение уравнения (8.22) имеет вид

\n(f/r,) . .

ъШ) "Р" •t-"

jnlf/fai In (f/fa)

Здесь Пк - давление на границе канавок и перемычки:

П, = -ein (г,Уг„);

д Л -Н 0,5ВА* {Fl - f) ln(ryF,)-Aln(ryr-J

где А, В - постоянные, определяемые по формулам (8.23).

Спиральные канавки, оптимальные по условию максимума гидродинамической осевой жесткости, имеют следующие параметры Я = 3,25; а = 0,655; р = 72,2°; bjby = 0,72 (Ьк - длина канавки в радиальном направлении).

На рис. 8.38 приведены статические характеристики трех схем уплотнений со спиральными канавками, определенные расчетным путем Ченгом и др. Кривые 1-3 соответствуют схемам а -в на рис. 8.37. Анализ графиков показывает, что уплотнение с шевронными канавками является оптимальным конструктивным решением, обеспечивающим высокую жесткость при утечках, близких к нулю.

Уплотнения со ступенью Рэлея и с наклонными площадками. Для расчета уплотнений необходимо решить дифференциальное уравнение Рейнольдса, которое

0,9 0.7 0.5 0,3

о 10 20 30 А а)

о 10

при Fe[r„ Га].

Рис. 8.38. Зависимости усилия, раскрывающего уплотнительный стык (а), осевой жесткости (б) и утечек (в) от параметра Л* для уплотнений со спиральными канавками при Р»= 1,11

в общем случае для ступени (кармана) с криволинейными границами имеет вид

div (p/i grad р - бцурй) = О, (8.24) где v - вектор скорости скольжения.

Уравнение (8.24) справедливо для всех точек уплотнительной поверхности, в которых высота зазора изменяется плавно. На границах ступени, где зазор изменяется скачком, поток жидкости или газа, направленный по нормали к границе, и давление должны оставаться непрерывными. На краях уплотнительного пояска и в питающих пазах давление равно р, или Ра.

Уравнение (8.24) совместно с условиями непрерывности и граничными условиями интегрируются на ЭВМ с использованием численных конечно-разностных методов. Для ступени, показанной на рис. 8.39, а, оптимальная по условию максимума жесткости глубина ступени с = \,2Ah. Зависимость усилия, раскрывающего уплотнительный стык, от зазора для этого уплотнения при работе на газе дана на рис. 8.39,6.

Рис. 8.39. Зависимость усилия, раскрывающего уплотнительный стык, от зазора (6} для уплотнения со ступенью Рэлея (а) при р, = 5 и Л = 0,929

0,ОВО,1

0,2 0,Ц 0,0 I

S 8/l/c

Рис. 8.40. Зависимость (б) гидродинамической составляющей усилия, раскрывающего уплотнительный стык, от зазора для уплотнения с наклонными площадками (а)

Для уплотнений с наклонными площадками (см. рис. 8.40, а) рекомендованы следующие ориентировочные соотношения размеров [ 21]: с/й = 1...2,5; 2пГср/{гЬу) = 1... 2 (здесь z - число наклонных площадок). Зависимости гидродинамической составляющей усилия Р = = Р/1/(2пгсрЬуЦСй), раскрывающего уплотнительный стык, от зазора для различных соотношений размеров (табл. 8.1) этого уплотнения при работе на жидкости приведены на рис. 8.40,6.

Таблица 8.1

Соотношение размеров уплотнения с наклонными площадками

Уплотнение с питающими а111С{1стиями.

В начале расчета определяют давление в камере (или за питающими отверстиями для уплотнений без камер). При осесимметричном течении в зазоре р определяют из равенства суммы потоков жидкости или газа на входе в уплотнение Q„j и через питающие отверстия Q„o потоку на выходе из уплотнения Q„e (рис. 8.41): -I-Q„o = ап,«-

Расходы вычисляют по фор-

мулам, аналогичным (8.5), (8.6) или (8.20). Течение газов через питающие отверстия считают одномерным изоэнтропийным, и расход Q„o определяют по формуле

Qmo = Со8оп]/р,р,Т(р1р,).

Здесь Со - коэффициент расхода газа через питающее отверстие (рис. 8.42); So - площадь дросселя, равная минимальной из площадей 0,25п£о и BJi, а для уплотнений без камер ndoh (здесь do - диаметр питающего отверстия, - периметр камеры); п - число камер или питающих отверстий; Г {pjp - функция истечения:

2х (Р,\1

1/х

при ~> Рч,;

Гц, при - <Ркр.

Рис. 8.41. Расчетная схема уплотнения с питающими отверстиями и камерами

0,8 0,7 0,6

О 0,2 0,4 0,dP,lPs

Рис. 8.42. Экспериментальная зависимость коэффициента расхода газа через отверстие от отношения p-jps, полученная Ченгом и др.

Здесь X - показатель изОэнтропы (для одноатомных газов х = 1,67; рр = 0,487; Гкр = 0,727; для двухатомных газов х = 1,4; Ркр = 0,528; Г,р = 0,685). Для несжимаемых жидкостей расход

g„o = CoSonl/2(p,-p,)p,

где Со =0,62...0,82.

Для газов давление р, рассчитывают на ЭВМ. Для несжимаемых жидкостей безразмерное давление за питающими отверстиями П = (рк - р„)/(р, - р„) находят по формуле

К + К

1 4-

где Ь„ = In {rjr; Ъ, = in {rjr,); ra, r„s -радиусы соответственной выходной и входной границ камеры (см. рис. 8.41) (для уплотнений без камер радиусы

равны радиусу, на котором расположены питающие отверстия);

Л* = 61/2 CoSonn \nh /(-pjp] - -параметр режима.

Распределение давления в зазоре определяется равенствами: для газов

ln(r./r) bs

при re[r„ rj; при ге[гк5, rj;

для несжимаемых жидкостей

1-(1-п/при r6[r„rj;

при ге[гк« rj;

(8.25)

при ге[г„„,

Лей»

Утечки через уплотнение для газов (Q J и несжимаемых жидкостей (Q) определяются соответственно равенствами:

g. = (Pk-i)/5„; ё = па-

Расчеты силовых характеристик ввиду сложности формул обычно выполняют с помощью ЭВМ. Для уплотнений с узким (by «: г2) пояском усилие, раскрывающее уплотнительный стык, рассчитывают по формулам:

для газов

-ЬРк(1 -х,-х„)--- 1;

ps - р

2. Рк-1

при ге[г,„, rj;

для несжимаемых жидкостей P = y[n,(2-x,-xJ-l-xJ, где x, = (vs - rj/(r, - rj;

Гидростатическую жесткость уплотнений с узким пояском для несжимаемых жидкостей определяют по формулам

Кз, = С,(1 -Пк)(2-х,-х„)х

П,х,-(1 -Пк)х„ Пл + (1-П,)(2х,-1-х<,)

где Ск = 3 при 0,25П£? < Bh и С, = 2 при Bkh < 0,25п(/о, а также для уплотнений без камер.

Таким образом, для уплотнений с питающими отверстиями гидростатическая жесткость при внешнем дросселировании в 1,5 раза выше, чем при внутреннем (см. рис. 8.33).

20 10

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,5 0,6 0,7 0,8 ц9

Рис. 8.43. Зависимости режимного параметра (а) и осевой жесткости (б) от безразмерной нагрузки для уплотнения с питающими отверстиями и камерами (by «; гг) при работе в газе:

; - р. = 2; 2 - р. = 4; 3 - р. = 10

Нагрузочные характеристики уплотнения для газов приведены на рис. 8.43, где обозначено = 12Со5оПц/[п/1 х X /рвРа]- Для жидкостей на рис. 8.44 даны оптимальные значения параметров Xj, и Хо для уплотнений без камер, а также значения режимных параметров, соответствующие максимуму осевой жесткости Кг-

Пример 8.1. Определить размеры уплотнительного пояска, диаметр отверстий и утечки через уплотнение с питающими отверстиями и камерами для жидкости с вязкостью ц = = 10" Пас и плотностью р = 10 кг/м. Перепад давлений Ро = 5 МПа; диаметр, определяющий гидравлическую нагрузку, dp = 50 мм; высота уплотнительного зазора h = 10 мкм; подвод давления со стороны