в результате получим двухчастотную изображающую функцию: ((й, А, В) =

.(f, Д в)=.

0)2 аb ~ {А ~\-2В) +шг\; (2.73)

а + б (2Л + Б) +i--ri. (2.74)

При этом необходимо потребовать, чтобы А = О, т. е.

ЗЛехр i (1-0) - 281) +Бехр\"(

I { 0) -48з

ЗЛБехр [г(82- 8i)] = 0.

(2.75)

Представляя озмущающее усилие в виде Яоо ехр (ш), получаем два уравнения:

£2(0), Л, Б) = ехр(гб1); 2(. Л, fij - 0. (2.76)

Приступая к определению неизвестных амплитуд и фазовых углов, разделим вещественную и мнимую части в первом уравнении системы ,(2.76):

(нАц = Ясо sin 8;

0)М +А

Ь~(А + 2В)

- Ям cos ei. (2.77)

Далее положим т] = О и = О, л. Тогда из (2.77) найдем

4(а -©2)+3(Ла + 2В2) *

(2.78)

При b = О уравнение (2.78) дает значение амплитуды А для линейной системы с собственной частотой (Oq У а. Из второго уравнения системы (2.76) получим

со2-4а (2.79)

Подставив (2.79) в уравнение (2.78), найдем окончательно выражение для амплитуды основной частоты

4а -70)2

(2,80)

Дополнительное уравнение для определения соотношения между амплитудами А п В найдем из условия Л {f) = 0. Полагая 6i О, выделим вещественную часть из этого уравнения

ЗЛЧо5~о)/ + Б\со5(-со -482) = -ЗЛВсоЗба. (2.81)

Разложим cos (0 - 48 2 и приравняем коэффициенты при 94

sin у coi. Получим Bsin 482 =0, откуда следует. Что на некотором установившемся режиме 483 = я. Предположим, что при этом В > Л, тогда будем иметь

Л = -!Bcos-o)i. (2.82)

Смысл выражения (2,82) будет ясен, если учесть, что Л - амплитуда колебаний ротора, происходящих с частотой, равной частоте вращения ротора. Движение ротора в этом случае представляет собой круговую синхронную прецессию. Так как при субгармонических колебаниях на основные колебания накладывается еще одна частота, то прецессия ротора не будет круговой и центр шипа ротора опишет три полных колебания около положения статического равновесия за два оборота ротора, т. е. частота прецессии ротора равна 3/2(й.

Из полученных для амплитуд зависимостей видно, что характер движения ротора в подшипнике зависит от соотношения между жесткостными коэффициентами а и Ь, которые, в свою очередь, являются функциями от начальных условий, от области, .изменения координаты у. Решив уравнение (2.80) относительно В, получим

Д2 8Яо)2 4-(7о)2 -4а) Л . ,о

0,9Я

Рис. 2.24. Границы возникновения субгармонических колебаний порядка 1/2 для двухопорного ротора с жестко установленными шарикоподшипниками

Отсюда вытекает условие возникновения и существования субгармонических колебаний порядка 1/2 для рассматриваемой системы

Я(о--(4а-7о)).

Если положить а = -собственная частота линеаризованной системы ротор-подшипники, то, введя безразмерную частоту = (о/соо и безразмерную амплитуду = Л/26, где 26 - радиальный зазор в подшипнике, получим уравнение, определяющее нижнюю границу возникновения субгармонических колебаний при жесткой установке подшипников в корпусе

На рис. 2.24 представлены границы возможного появления субгармонических колебаний порядка 1/2 на плоскости пара-

метров Q и li для нескольких значений относительной неуравновешенности h. Как следует из выражения (2.84), даже при адеаль-ной балансировке ротора возможно появление субгармонических колебаний при Q > 0,755. Определение верхней границы для случая жесткой установки подшипников не представляется возможным. Однако в системах с нелинейными жесткостными характеристиками, аппроксимируемыми поликомом типа / (у) =

ау Ьуу кроме колебаний порядка 1/2 возможны и колебания порядка 1/3. Следовательно, в системах с жесткими подшипниками качения можно ожидать перехода колебаний одного из указанных типов в другой. Понижение же границы возникновения субгармоник порядка 1/2 (рис. 2.24) при малых амплитудах основной частоты важно для высокоскоростных прецизионных роторных машин, например шлифовальных шпинделей. Роторы подобных машин являются жесткими. Они работают на докри-тических скоростях, имея значительный запас скорости до критического числа оборотов (не менее 25%). В процессе эксплуатации электрошпннделей нередки случаи, когда тщательно сбалансированный ротор в новых подшипниках качения не дает требуемой точности вращения, что объясняется возникновением дополни-. тельных гармоник вибрации, так как даже незначительная разбалансировка или появление зазора в подшипнике из-за устранения усилия предварительного натяга силами инерции шариков (при недостаточной величине этого усилия) резко снизит границу субгармонических колебаний вплоть до зоны рабочих оборотов.

Субгармонический резонанс. Рассмотрим субгармонические колебания в системе ротор-упругий подшипник качения, для чего обратимся к общей динамической модели, принятой в гл. 2 (см. рис. 2.11). Характеристика жесткости собственно подшипника принималась в виде Р (Xi) - /(Xf/; жесткостная характеристика внешнего упругого поля принималась линейной с коэффициентом жесткости с. Было показано, что влияние нелинейной жесткости подшипника при установке его в линейное упругое поле, коэффициент жесткости которого на несколько порядков меньше, коэффициента К в формуле Герца, становится незначительным. Упругую характеристику всей опоры в этом случае можно представить в виде

Р{хг)

CiXi

где с

Сх/К - величина малая. Пренебрегая колеблющейся

массой опоры /Па, запишем уравнение колебаний системы

rriiXi -h CiXi

я cos (Jdt.

(2.85)

Возмущающее усилие Я пропорционально квадрату угловой скорости: Я = Мбсо, где Ме- неуравновешенность ротора.

Введем новые переменные: xjb (б - радиальный зазор в подшипнике); H/mi8 = h\ c*/mi = у\ Cilrrii = coq.

Уравнение (2.85) в безразмерных величинах запишется

h cos со/.

(2.86)

Здесь - собственная частота линейной системы с жесткостью упругого поля у - малый параметр.

Рассмотрим возможность возбуждения в системе (2.86) субгармоники порядка 1/2. Предположим, что основная частота субгармонических колебаний в системе со слабой нелинейностью близка к собственной частоте системы со. Так как рассматриваются колебания порядка 1/2, то возмущающее усилие (частота вращения ротора) должно быть в два раза выше частоты субгармоники.

Решение уравнения (2.86) будем искать в виде:

о (О +Yi (0;

ybi (i; Х2).

(2.87)

Подставляя (2.87) в (2.86) и пренебрегая членами, содержащими у в степени выше первой, получим

yii + 0)1 НоЧ- 715i - ybilo + уШ = h cos 2o)i/. (2.88)

Порождающее решение найдем из уравнения

h cos 2o)i/.

(2.89)

Предположим, что это решение содержит составляющую с частотой 0)1 и частотой субгармоники 2о)х, т. е.

Хх cos 2(0xt + Cos 0)1/

(2.90)

В решении (2.90) Т- амплитуда субгармонической составляющей, а амплитуду составляющей основной частоты (частоты возмущающей силы) получим после подстановки решения (2.90) в уравнение (2.89) и приравняв коэффициенты при cos2coi/:

-h/iSai).

(2.91)

Порождающее решение (2.90) соответствует линейной консервативной системе, описываемой уравнением (2.86) при у = 0. Первое слагаемое описывает при этом вынужденные колебания,

а второе-свободные незатухающие при условии = О и при 0. В линейной системе справедлив принцип суперпозиции и нет никакого соотношения между частотами обеих колебаний. В нелинейной системе при 7 О на частоты колебаний и их амплитуды налагаются определенные соотношения. Поправочный член к решению получим пз уравнения (2.88), выделив члены с малым параметром 7,

(2.92) 97

Это уравнение после подстановки в правую часть порождающего решения примет вид:

Ц] 2 COSCOii

(Ьг - ~%1 - Ц%гcos2coii - (1.к\ - 1цк2cos 3mt

~ кгЦ - - cos 4tt)ii - 1X2 cos 5(Dit

cos 6o)ii.

(2.93)

Решение уравнения (2.93) из-за наличия в правой части этого уравнения слагаемого с собственной частотой системы имеет вековой член. Однако бесконечный ряд по степеням у, в который разложено решение (/), представляет собой ограниченную функцию (ищется нерезонансное решение). Поэтому необходимо исключить вековой член, потребовав, чтобы

=- (2Я! + Я1). (2.94)

Подставив (2.94) в выражение (2.87), получим

.2 ,,2 3

0)1 = 0)0

Подставим сюда значение Х

0)1-0)iO)o

у{2Х1 + Щ,

(2.95)

Уравнение (2.95) дает искомую зависимость между амплитудой субгармонического колебания и его частотой. Возмущающая сила

пропорциональна квадрату угловой скорости, т. е. h = = е

- 2,ii0i, Учитывая это, получим из уравнения (2.95) выражение для амплитуды субгармонической составляющей

(2.96)

-0)0 /" (

1 8 Е

1 -TV

11 3 V

где fill = o)i/cdo-относительная частота субгармонических колебаний.

Отсюда найдем минимальную частоту, при которой существуют субгармонические колебания порядка 1/2

min

8 Е

(2.97)

Из формулы(2.97) следует, что возможные значения частоты субгармонических колебаний в случае с упругим подшипником немного больше собственной частоты линейной системы и зависят от относительной неуравновешенности ротора е. Зависимость амплитуды субгармонических колебаний Х от относительной частоты Й£ представлена на рис. 2.25, амплитудно-частотная

характеристика построена для е ~ 1 и х ~

3 V

10. Здесь же

построена для сравнения амплитуда Х основной частоты. Субгармонические колебания в рассматриваемой системе с упругим подшипником носят резонансный характер. При этом частота возникновения субгармоники почти совпадает с удвоенной собственной частотой системы ротор-

1.0 2.0 3,0 .0 5.0 ао

Рис. "2.25. Амплитудно-частотная характеристика субгармонических колебаний порядка 1/2 ротора в упругих шарикоподшипниках

опоры. Так же как и в случае основного резонанса, рост амплитуды при субгармоническом резонансе ограничивается демпфированием, а при достаточно большом сопротивлении субгармонические колебания вообще не могут существовать [40].

Как следует из уравнения (2.93), при вычислении поправки первого порядка появляются добавочные составляющие, в том числе постоянная составляющая, составляющие с частотами 3o)i, 4o)i, 5o)i и 6o)i. При решении эти составляющие были отброшены, поэтому форма колебаний ротора может включать и некоторые из этих частот. Еще одним вероятным режимом колебаний может быть режим, сопровождающийся субгармоникой порядка 1/3. Зона возбуждения этой субгармоники соответствует скорости вращения о) - Зшо [40]. При скоростях вращения, равных двойной и тройной собственной частоте ротора в упругих подшипниках, возможно появление субгармонических резонансов. При этом прецессия ротора не является круговой, что особенно важно для установок, требующих прецизионности вращения, у которых зона рабочих оборотов не должна совпадать с указанными частотами (шпиндели шлифовальных станков).

Субгармонические колебания порядка 1/2 были обнаружены при решении задачи о движении вертикального статически и динамически неуравновештенного ротора в упругих подшипниках качения на аналоговой вычислительной машине. За исходную динамическую модель принималась система с радиальным зазором в подшипнике. Жесткостная характеристика представляла собой кусочнонепрерывную функцию радиального перемещения ротора по типу характеристик, рассчитанных для упругого шарикоподшипника (см. рис. 2.12). Субгармонические колебания