Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение модуля суммарного вектора равны:

7И[2]0,42/?*к; a[Z]0,22i?c*K; R*ck 3 V + 0,5V\ (3.15) Очевидно, что точность формул (3.13)-(3.15) уменьшается с возрастанием отношения V/Ox-

Если вектор W, в свою очередь, является суммой векторов R, то в формулах (3.15) вместо Ох нужно подставить величину 1/3/?ск. определяемую выражением (3.9).

Снижение уровня динамических нагрузок на опоры может быть достигнуто двумя путями:

1) уменьшением числовых характеристик случайных факторов что соответствует повышению класса технологической точности;

2) при тех же q*, но направленным изменением функциональной зависимости между и qi, что соответствует изменению упруго-инерционных характеристик роторной системы.

В том и другом случае для оценки эффективности мероприятий по снижению уровня нагрузок на опоры необходимо:

1) выявить все факторы вызывающие нагрузки R( одной частоты;

2) установить функциональные зависимости между qi и Ri до и после внедрения мероприятий;

3) назначить верхние границы поля допусков q* и вычислить соответствующие им нагрузки R* до и после внедрения мероприятий;

4) произвести суммирование случайных векторов на каждой частоте и определить их числовые характеристики;

5) вычислить снижение уровня нагрузок на каждой частоте как отношение математических ожиданий суммарных нагрузок до и после ьнедрения мероприятий.

Приведенная методика позволяет производить приближенную теоретическую оценку эффективности внедрения того или иного мероприятия.

Теперь рассмотрим некоторые вопросы, связанные с обработкой экспериментального статистического материала.

Предположим, что имеются результаты измерений уровней динамических нагрузок на опоры п роторных машин. Обработку статистического материала целесообразно проводить применительно к решению следующих двух основных задач:

а) проверки правдоподобности имеющихся теоретических результатов;

6) нахождения оценок и доверительных интервалов числовых характеристик ожидаемых динамических нагрузок.

Для решения первой задачи можно воспользоваться методом А. Н. Колмогорова [25]. Суть его заключается в следующем.

Строятся статистическая Ф (R) и предполагаемая теоретическая F (R) функции распределения нагрузок на каждой частоте,

Находится D - максимум модуля разности между функциями.

Далее определяется величина X = D Уп и по таблице (приложение 1) находится Р (Х) - вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение Ф (/?) и F (R) будет не меньше, чем фактически наблюденное. Если вероятность Р (Х) велика (более 0,1), то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F (R) с опытным Ф (R) не опровергается, если же Р {X) мала, то расхождение между ними следует признать не случайным и гипотезу отвергнуть.

Вторая задача вызвана тем, что при небольшом числе испытаний экспериментальный материал содержит значительный элемент случайности, поэтому случайными оказываются и все числовые характеристики, вычисленные на основе этих данных. В таких условиях может быть поставлена задача лишь об определении оценок и доверительных интервалов искомых числовых характеристик [25 ].

Оценка математического ожидания определяется равенством

(3.16)

Предполагая, что имеет место закон распределения Релея, оценка кругового рассеивания находится по формуле

0,8. (3.17)

1,253

Доверительный интервал кругового рассеивания является несимметричным и определяется формулой

(3.18)

где р - доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что

интервал со случайными концами (Yiffo, 720) накроет неизвестную величину Oq\ 7i, -коэффициенты, определяемые по таблице (приложение 2).

Доверительный интервал математического ожидания определяется выражением

PJYiM W]<V2} = р. (ЗЛ9)

Используя правило трех сигм, заключаем, что с вероятностью р все практически возможные значения, которые сможет принимать R, находятся в пределах

0<i? ЗузОо. (3.20)

Если результаты измерений нагрузок получены в децибеллах, то для статистической обработки их нужно перевести ь килограммы, так как величина L = Ig R имеет распределение, отличающееся от распределения Релея.

Пример 3,1. Применим вышеизложенную методику к вероятностной оценке уровней динамических нагрузок на опору 2 ротора турбогенератора общепромышленного применения, изображенного на рис. 3.2.

Исходные данные: п = 3000 об/мин; = 2500 кгс; Gj = 1800 кгс; rfj = = с2 = 22 см; Dl = 52 см; Wi = 393 с"; роторы соединены жесткой муфтой и

Генвратор Турбина

V7. 7

2000

Рис. 3.2. Расчетная схема ротора турбогенератора

опираются на подшипники скольжения с х = 0,6; ротор генератора имеет анизотропию жесткости с коэффициентом а 2,1%; обмотки ротора генератора имеют водяное охлаждение и, вследствие неодинаковости поперечных сечений каналов, температурное возмущение паза может составлять 1,5° С. Кроме того, имеются результаты измерений уровней вибронагрузок на данную опору десяти серийных

турбогенераторов (табл. 3.1).

Таблица 3.1. Результаты измерений вибронагрузок на вторую опору турбогенератора

Требуется; а) определить теоретически ожидаемый уровень динамических нагрузок как для имеющегося класса технологической точности, так и для случая предъявления повышенных требований по уровню нагрузок на опоры; б) произвести обработку экспериментального материала с целью проверки правдоподобности теоретических результатов; в) найти оценки и доверительные интервалы экспериментальных числовых характеристик.

В табл. 3.2 приведены: а) основные факторы qi определяющие уровень нагрузок на опоры данного типа роторной машины; б) предельные максимальные значения факторов для

обоих видов исполнения машины; в) предельные максимальные нагрузки ji* на опору 2, соответствующие факторам q* и вычисленные на основе выявленных в гл. 1 функциональных зависимостей.

Динамическая нагрузка /?*

делялась по формуле

k 6*0)2, (3.21)

on ре-

2 1-1

коэффициент динамичности системы, равный 2,8

где I - (-.\

при .(o/cui = 0,8.

Величины /?д и находились по формулам, аналогичным (3.21).

Остальные величины R* определялись по аналогии с примерами, разобранными в соответствующих разделах гл. h 108ч

Таблица 3.2. ВибронагруЗки на вторую опору турбогенератора,

вызванные различными факторами

Модули всех векторов Ri, имеющих частоту 50 Гц. подчиняются закону распределения Релея и их сложение производится по формулам (3.8)-(3.9).

Сложение векторов, имеющих частоту 100 Гц, производится по формулам (3.15).

Результаты сложения векторов представлены в табл. 3.3.

Таким образом, среднеожидаемые нагрузки на опору 2 у машин, изготовленных с повышенными требованиями, составляют 76 кгс на частоте 50 Гц и 34кгс на частоте 100 Гц. Учитывая, что статическая нагрузка на опору составляет 1250 кгс, соответствующие относительные величины равны 6,1 и 2,7%. Максимальные ожидаемые относительные величины при этом составляют Г4,5 и 6,5% соответственно.

Эффективность повышения требований к точности изготовления, балансировки и монтажа роторов вычисляется как отношение соответствующих математических ожиданий и составляет 2,2 раза на частоте 50 Гц и 2,1 раза иа частоте 100 Гц.

Таблица 3.3. Результаты сложения случайных векторов вибронагрузок иа вторую опору турбогенератора

Если принйть за допустимый уровень максимальных относительных нагрузок 2% для частоты 50 Гц и 1% для частоты 100 Гц, то, как видно из результатов расчетов, достигнутый уровень после повышения технологической точности превышает требуемый в б-7 раз.

Сравнение экспериментальных (табл. 3.1) и теоретических (табл. 3.3) результатов произведем по методу А. Н. Колмогорова.

На рис. 3.3 построены статистическая Ф {К) и теоретическая {Щ функции распределения нагрузок, имеющих частоту 50 Гц. Функция F {R) определяется формулой (3.2) при значении Oq = 133 кгс. Как видно из рисунка-, D = 0,16. Определив величину К ~ D Vn =

= 0,16 VTO = 0,505, по таблице (приложение 1) находим Р (Х)=0,96.

Для частоты 100 Гц аналогичным образом находим D = 0,24; Х = 0,76; Р{Х) = 0,61.

Так как Р {К) для обеих частот достаточно велика, то можно считать, что гипотеза о согласии опытных данных с теоретическими не опровергается. Оценки математического ожидания и кругового рассеивания на частоте 50 Гц,

вычисленные с помощью табл. 3.1 и формул (3.16)-(3.17), равны R = 162 кс; = 130 кгс.

U8 Q6\

0.4 0,2 О

500 Rh8C

Рис. 3.3. Экспериментальная Ф (R) и теоретическая F (R) функции распределения нагрузок на опору 2 на частоте 50 Гц

Коэффициенты 7i и входящие в формулы (3.18)-(3.19) и определяемые по таблице (при-

ложение 2), п вероятности

Таблица 3.4. Результаты вычислений оценок и доверительных интервалов числовых характеристик вибронагрузок на вторую опору турбогенератора

[ри доверительной э - 0,95 составляют Yi = 0,688; 72 = 1.S26.

Истинные значения кругового рассеивания и математического ожидания находятся в пределах:

9000 238; 112М[/?] 297.

Границу практически "возможных значений R находим по формуле (3.20)

тах = Зуао "0 кгс.

Аналогичные вычисления производим для нагрузок на частоте 100 Гц. Результаты вычислений приведены в табл. 3.4.

2. Влияние податливости опор

на уровни вибронагрузоКу

вызванных анизотропией жесткости ротора,

овальностью цапф и неооосностью роторов

Анизотропия жесткости ротора. В качестве теоретической модели рассматривается ротор с одним диском массой т, закрепленным посередине невесомого горизонтального вала НО

с жесткостями и Вал опирается на упругие невесомые подшипники, имеющие изотропную жесткость с коэффициентом Cq (рис. 3.4).

Так же как и в п. 2 гл. 1, движение системы рассматривается во вращающихся координатах 1ц. Пусть I и tj - координаты центра диска; Ь и т] о - координаты центров подшипников; ц е - эксцентриситеты центра масс диска в направлении осей I и г) соответственно.

Рис. 3.4. Схема ротора двоякой жесткости на упругих опорах

Дифференциальные уравнения движения системы выводятся аналогично уравнениям (1.33) и имеют следующий вид:

- 1о) = tneiio + mg cos о/; . го) = /712(0 - mg sin (ot;

- U) = 0;

m (I

m (ц

2a)Ti 2o)H

- 0)2?)

t cori)

Cxil

C2 (л

2Coio 1 il

ОЦО - C2 in

(3.22)

Исключив из уравнений (3.22) величины lo и л о, получим:

т (I

т (г

2(оц 2о)Н

те-,(д

С02Ч = /ПзО)

mg cos со ; 1 mg sin (ot.

2cqCi

2CqC2

2co + Ci Окончательно получим:

%-2(оц + (0)01 - to) I Г + 2o) + (со§2 - () Л

2Cq -\- Cg

(3.23)

eico

02(0-

g COS (Ot\

g sin co

(3.24)

COoi

m (2cq + Cx)

1+1/20 т(2со + Сз)

I + C2/2C0