скорости, называемые инвариантными, при которых давление не зависит от демпфирования. Это имеет место при той скорости, при которой [84]

(1 р-а)2 2vy

1 (1 d) у2

Пренебрегая в последней формуле величиной р, которая весьма мала для реальных роторов по сравнению с единицей, получим для рассматриваемой системы

l„(l -d)y2 2vy

(3,77)

Из этого равенства находим (знак плюс в последнем выражении отбрасывается, так как он приводит к противоречию)

(3.78)

Следовательно, инвариантная скорость вращения вала с учетом гироскопического эффекта, также и при невращающемся вале или вале, ось которого перемещается поступательно (цилиндрическая прецессия), сдвинута в сторону высоких частот

в ]/2 раз от критической.

Графики давлений на опоры построены в двух различных масштабах. Давления на упругую опору (рис. 3.15) построены в масштабе Mek, а давления на шарнирную опору (рис. 3.16) - в масштабе Мео). Ординаты в масштабе Месо показывают, во сколько раз давления на опоры отличаются от возмущающего воздействия Мео)2. Таким образом, ординаты этих графиков по смысЛу напоминают коэффициенты динамичности из теории вынужденных колебаний.

Графики в масштабе Mek позволяют показать характер развития давлений в зависимости от частоты вращения вала.

Для того чтобы графики в масштабе Mek перевести в масштаб Мео), необходимо их ординаты разделить на у- При обратном переходе нужно ординаты умножить на у.

Покажем, как воспользоваться данными графиками, если у вала имеется только динамическая неуравновешенность. В этом случае (3.59)

(В - А) б/

(3.79)

Динамическая неуравновешенность создает пару сил с моментом

(В - А) 60)2 = Mei(o2/, (3.80)

которую можно заменить моментом относительно шарнирной опоры фиктивной силы инерции Mejco, приложенной от шарнирной опоры на произвольном расстоянии, например /. Для сокра-

8 у

Рис. 3.15. Зависимость реакции упругой опоры от скорости вращения вала при различных величинах v

Рис. 3.16. Зависимость реакции шарнирной опоры от частоты вращения вала: а - центр тяжести расположен посередине между опорами; б - центр тяжести расположен консольно

щения будем в дальнейшем силу инерции, заменяющую действие динамической неуравновешенности, называть эквивалентной силой инерции. Из последнего соотношения находим фиктивный эксцентриситет ,

(3.81)

с помощью которого производится перерасчет эффекта действия динамической неуравновешенности вала в принятый масштаб построения графиков.

Рассмотрим случай, когда вал имеет обе неуравновешенности. Величина (3.61) в этом случае будет принимать значение

/i2 + 2/11/12XOS 8. (3.82)

Отсюда следует, что /I3, а следовательно, вибрации и давления на упругую опору, вызываемые суммарной неуравновешенностью, имеют экстремальные значения:

максимальное h* =h\\- h% при е = 0; минимальное hi = hi - h при е = л.

(3.83)

Таким образом, экстремальные воздействия статической и динамической неуравновешенностей имеют место в случае, когда центр инерции вала лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и главную ось инерции. Экстремальные значения /I3 могут быть записаны следующим образом:

M±/z2= (-)5/ Mel Во "~

где для краткости обозначено

А) б

(к ± Ь), (3.84)

Отношение

(В - А) бй)2 Ме(а

(3.85)

можно рассматривать как плечо пары сил, составляющие которой равны Мео)2. В связи с этим для определения экстремальных значений вибраций вала и его давлений на упругую опору при известных статической и динамической неуравновешенностях, действие обеих неуравновешенностей можно заменить эквивалентной силой инерции, смещенной от центра инерции вала на & в направлении от шарнирной опоры при определении максимума и в направлении к шарнирной опоре при нахождении минимума.

В дальнейшем, при наличии у вала статической и динамической неуравновешенностей будут рассматриваться лишь их экс-132

тремальные значения. Во всех остальных возможных случаях взаимного расположения неуравновешенностей вибрации вала и его давления на опоры окажутся в зоне, расположенной между найденными экстремальными значениями.

На рис. 3.14 и 3.15 приведены амплитудно-частотные характеристики и давления вала на упругую опору при приложении эквивалентной силы инерции на расстоянии / от шарнирной опоры. При построении всех кривых давлений пренебрегали величиной р, составляющей у большинства реально выполненных валов сотые доли единицы.

Согласно (3.64) и (3.75), вибрации вала и его давления на упругую опору пропорциональны величине /13 и явно не зависят от расположения центра инерции. Вследствие этого для определения вибраций и давлений при других расположениях эквивалентной силы инерции необходимо ординаты графиков умножить на величину / = (/ it: b)/L Таким образом, определение виора-ций вала и его давлений на упругую опору при известных статической и динамической неуравновешенностях не представляет особого труда.

При большом значении у и небольшом вязком трении в демпфере упругой опоры всеми слагаемыми в знаменателе (3.74), кроме 7 (1 d)y можно пренебречь. Тогда формула для давления на упругую опору (3.75) примет следующий вид:

(3.86)

lim Ri

<7i

Учитывая (3.71), получим

lim;?i = (1

Py + 2yvi) ас.

(3.87)

СО->-со

Давление на упругую опору в масштабе Мш можно записать в виде (при неограниченном возрастании скорости вращения вала)

1 Ру2 2yvl k+b 1

(3.88)

При малой приведенной массе (р 0) и незначительном вязком трении (V 0) давление на упругую опору будет возрастать пропорционально увеличению жесткости упругой опоры (3.86)* (3.87). Следовательно, для снижения давлений на опору, вызванных упругими силами при рабочих режимах, расположенных в зарезонансной области, необходимо снижать жесткость упругой опоры.

При малой приведенной массе (Р 0) давление на упругую опору возрастает с увеличением коэффициента демпфирования. Это давление возрастает также в зарезонансной зоне пропорционально увеличению частоты вращения вала. Эти тенденции в изме- -нении давлений на упругую опору хорошо видны на рис. 3.15.

Заметим, что рост давлений с увеличением частоты вращения не наблюдается при весьма малом коэффициенте демпфирования. Отсюда следует, что ставить демпферные устройства на упругие опоры не следует. Естественного демпфирования достаточно для снижения резонансных амплитуд при малых значениях собственной частоты колебаний. Из (3.64) и кривых на рис. 3.14 и 3.15 видно, что увеличение коэффициента v приводит к существенному снижению амплитуд только в зоне резонанса. Динамические давления на упругую опору с увеличением коэффициента v до црохождения инвариантной скорости вращения уменьшаются, а после ее прохождения увеличиваются. Заметим при этом, что увеличение коэффициента v может быть достигнуто уменьшением собственной частоты k, т. е. уменьшением жесткости системы.

Давление вала на шарнирную опору. Применяя к валу теорему о движении центра инерции, находим

МЬс = Ra - Ri.

(3.89)

Примем приближенно, ввиду того, что для большинства роторных машин В < Mfu

Ва = В

(3.90)

Тогда для относительного давления на шарнирную опору получим следующее выражение:

ih/l)

с L 2 - 0)2 (1 - rf) + 2пш h (1 +2vvi -Ру2) 2

1 (1 -i.2v7i

lx +

ехр (- ti)

(3.91)

(3.92)

Давление на шарнирную опору

(3.93)

Из (3.91) следует, что в отличие от давления на упругую опору (3.74) относительное давление на шарнирную опору явно зависит от относительного расположения центра инерции вала Ijl и величины /13. -л

Относительное давление на шарнирную опору для экстремальных случаев действия статической и динамической неуравно-вешенностей имеет вид

(- /i)v2+i+2vYi-PY /

1 „--2(1 +2v7i

(3.94)

В пределе при неограниченном возрастании частоты вращения

{Пк) + Р /

Ит ql

к±Ь

(3.95)

Следовательно, вдали от критической скорости относительное давление на шарнирную опору возрастает с увеличением частоты вращения пропорционально квадрату у и не зависит от вязкого трения в упругой опоре.

На рис. 3.16, а, б представлены кривые изменения давлений на шарнирную опору при d = 0,1 и v 0,1 и двух положениях центра вала: IJl = 0,5 - центр инерции расположен посередине между опорами и 1,25 - центр инерции расположен консольно. Давления на шарнирную опору в зарезонансной зоне мало зависят от вязкого трения в демпфере упругой опоры, поэтому на рис. 3.16, а, б представлены кривые для одного значения коэффициента трения v = 0,1. Кривые давлений при v = 0,6 и V = 10" в рассматриваемой области практически сливаются с данными кривыми.

Рассмотрим полученные кривые. При отсутствии динамической неуравновешенности (Ь = 0) эквивалентная сила инерции вала приложена в его центре инерции

f = (/, b)/l = IJL

(3.96)

Штриховые кривые f = 0,5 (рис. 3.16, а) и f = 1,25 (рис. 3.16, б) характеризуют изменения давлений на шарнирную опору, вызванные только действием статической неуравновешенности вала. Как видно из графиков, давление на шарнирную опору при этом является минимальным.

Кривые / = 0,75 и / = 0,25 на рис. 3.16 представляют собой кривые давлений на шарнирную опору, найденные при экстремальных значениях /I3 и при таком соотношении между статической и динамической неуравновешенностями вала, при котором точка приложения эквивалентной силы инерции вала смещена па 0,25/ от центра инерции, расположенного посередине между опорами.

Давления на шарнирную опору при консольном расположений центра инерции вала приведены на рис. 3.16, б. Сравнивая эти графики с графиками рис. 3.16, а, замечаем, что при консольном расположении центра инерции давления на шарнирную опору

существенно снижаются. Такая схема выгодна для роторных машин с консольным расположением центра инерции.

Рассмотрим случай, когда статическая неуравновешенность отсутствует. Для этого в уравнении (3.91) положим г = 0. Приложим эквивалентную силу инерции в центре инерции вала (для рис. 3.16, af = 0,5, для рис. 3.16, 6f= 1,25). Так как рассматривается случай динамической неуравновешенности, то это значит, что на вал действует пара сил, плечо которой равно