Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

усилие задается статической неуравновешенностью ротора. Реакцию верхней пружины обозначим Р {х - х) = Р (Дл:), определяя ее согласно выражению (2.26), где положим г Ах. Так как , переменная г есть абсолютная величина относительного смещения внутреннего и наружного колец подшипника, то в дальнейшем будем полагать Ах > О, считая, что Ах - абсолютная величина относительного смещения масс и т. Так как учет сил демпфирования в уравнениях движения в значительной степени усложняет решение задачи для двухмассовой системы в нелинейной постановке, то запишем уравнения движения системы в виде:

Xi + (Ах) = ео) sin о/; "

2 - Р2 (A-V) = 0.

(3.136)

Здесь Pi(Ax) и PiAx) - нелинейная функция, определяемая согласно выражению (2.26) и отнесенная к mj для (Ах) и к /Пз для Рз (Ах).

Есля принять, что начальная фаза колебаний равна нулю, то частное решение системы (3.136) можно искать в виде:

Xi а sin (oi\ х b sin о/; (3.137)

Воспользуемся методом Б. Г. Галеркина, допускающим поиск решения для систем с двумя степенями свободы. Основные уравнения для определения параметров а я b запишутся в виде:

[- оа sin 0)/ + Р (а, Ь, о, t) -

eoi sin о)Л sin со/ dt = 0;

coft sin (3)t

b sin со/

Pa (a, b, CO, /) sin oyt di = 0,

(3.138)

где T = 2n/(ji - период колебаний. Вычисляя интегралы и обозначив

со я

Pi (а, Ь, 0), /) sin 0)/ dt = /1;

Рз (а, ft, 00, /) sin iot dt = /2,

(3.139)

получим два нелинейных алгебраических уравнения, связывающих параметры а я Ь:

{a + e)(oh; (- - о) b =/а-

(3.140)

ИнтегрйлЫ тййа (3.139) вычислены путем разложения нелинейной функции в ряд по степеням переменной. Производя преобразования в системе (3.140) и переходя к безразмерным величинам, получим два уравнения:

ДЕ =

Ф Д!

(1 Q2) 1 [(1 -pQ)

Здесь обозначено: = i

а/2би

(3.141)

амплитуды перемещений масс mi и ту отнесенные к радиальному зазору в подшипнике; Q =;= о/о о - безразмерная угловая скорость; о)о = Усх/гпх- угловая скорость ротора, соответствующая собственной частоте колебаний системы, состоящей из массы mi и пружины с жесткостью l = ma/mi - массовое число, равное отношению массы огюры к массе ротора; % я Q - конструктивные параметры, зависящие от геометрических соотношений в шарикоподшипнике; Vo = Po/(2Sci) - безразмерная вели-

-без-

чина усилия предварительного осевого натяга; Л 26 размерная неуравновешенность ротора; Ф = Qg q2) -

функ-

ция угловой скорости Если обозначить

то первое уравнение системы (3.141) можно разрешить относительно L(AE), а второе-относительно li.

Qa(i (Q2)(i-f .

L{Al)

~ [(1-iQ2) -Q2]

(1 - fiQ2) Ag - [(1 - Q2)-Q2]

(3.142)

(3.143)

Анализ решений без учета массы опоры. Анализ периодических решений, полученных для нелинейной системы (3.136), являющейся идеализацией системы ротор-опора, начнем с выяснения характера скелетных кривых, уравнения которых можно получить, положив в (3.141) h подшипника, т. е. принять р = кривых:

0. Если не учитывать массу О, то получим для скелетных

Q2 =

I - Q2

(3.144)

Задаваясь Д, можно подсчитать = /(Д) и построить скелетные кривые как li = / (Й). Следует отметить, что функция



L (A I), определенная для данного типа подишпника параметрами 6 и X» включает в себя безразмерный натяг Vo и жесткостный параметр с* = cj{2cx), поэтому характер скелетных кривых в значительной степени зависит от этих двух величин. На рис. 3.41 построен ряд скелетных кривых на плоскости (Q; А1) для подшипника с параметрами х 8,6 и 6 := 17 (подшипник 204) при значениях безразмерного натяга Vo = 0,01; 0,3 и 0,5. Все три графика отличаются друг от друга параметром жесткости с*, причем этот параметр увеличивается при уменьшении радиальной жесткости опоры (при = const).

.........Г"

t? 1

i 1

! " 1

\o.f

0.25 0.5 0.75 0 0,25 0,5 0,75 0,5 0,75 ЮSl

Рис. 3.41. Скелетные кривые колебаний ротора в упругом подшипнике с преднатягом для трех значений жесткостного параметра: а-~с* ~ 0,005;

б - с* = 0,01; б - с* = 0,1

Вид скелетных кривых соответствует системам с мягкой характеристикой. По величине отклонения каждой скелетной линии от вертикальной прямой Qq = 1. характеризующей линейную систему, можно судить о степени нелинейности динамической системы ротор-опора. Как видно из приведенных графиков, это отклонение тем меньше, чем меньше жесткость упругого поля Cl. Можно утверждать, что чем меньше радиальная жесткость опоры, тем меньше степень нелинейности опоры, меньше влияние собственно подшипника и его параметров на динамические характеристики системы ротор-опоры. По виду кривых можно заключить, что нелинейность рассматриваемого типа резко снижает зону резонансных частот. Количественно оценить влияние жесткости опоры на степень ее нелинейности можно, определив координаты точек скелетной кривой с вертикальной касательной.

Из условия минимакса d£J/di = О найдем разность (Qo - Йв)

между координатой Qb точки скелетной кривой, имеющей вертикальную касательную, и собственной частотой линейной системы

3vo+2Kec*-f 2(0О/

(3.145)

Предел этой разности для гипотетического случая, когда жесткость опоры стремится к нулю, а жесткостный параметр с"

-> оо

m л. л-г W л - V » .M-F--. - - - ---------------/ j j

равен нулю. Следовательно, при уменьшении жесткости опоры

1 1

( 4--

1 1 1 1

/ 1

-I- 1-

о\

1 1

-0.1

Г "

II

Г- . -

С-

--В-

<

>

-.-0,01

1 1

1-L.

L--J

Рис. 3,42. Номограмма для решения уравнения L (Д?) = / (й), выражающего зависимость между относительным сближением колец упругого подшипника Д и относительной скоростью ,

ротора Q

влияние нелинейности подшипника на динамику ротора в районе главного резонанса сводится к нулю, а диапазон резонансных частот сужается (рнс. 3.42).

Так как введение линейного упругого поля в систему ротор- подшипник качения снижает степень нелинейности этой системы, то можно говорить о линеаризации динамической системы ротор- опоры. Подобная линеаризация достигается введением в опору упругих элементов с линейной жесткостной характеристикой. Следует отличать конструктивную линеаризацию динамической системы от математической линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений, позволяющей найти приближенное аналитическое решение для нелинейной системы.

Линеаризующее влияние упругой установки подшипника рассматривалось на примере нелинейности шарикового подшипника, вызываемой наличием предварительного осевого натяга.



Поскольку линейная упругость линеаризует систему со столь значительной нелинейностью, то вывод о конструктивной динамической линеаризации можно распространить на все другие виды нелинейностей, встречающиеся в жесткостных характеристиках опор качения.

Анализ амплитудно-частотных характеристик. Мы показали, что линейное упругое поле линеаризует систему ротор-опоры. Однако при вращении ротора на закритических скоростях остается открытым вопрос о прохождении критических частот вращения в смысле ограничения резонансных амплитуд. Возможно применение специальных упруго-демпферных цельнометаллических опор, демпферов вязкого трения, требующих настройки и довольно громоздких в конструктивном исполнении. Известно решение вопроса о демпфировании вынужденных изгибных колебаний гибких роторов силами сухого трения [80]. Отмечается в работе [80], что сухое трение само по себе не ограничивает амплитуды, но является регулятором колебаний, изменяя жесткостные свойства системы. Дается параметр, определяющий оптимальное демпфирование. Изьестно применение демпферов сухого трения в авиационных двигателях. В этом же плане рассматривается применение нелинейных демпферов и в работе [27], где для уничтожения критических режимов роторов, имеющих широкий диапазон рабочих оборотов, предлагается использовать упругие элементы с предварительным натягом (зоной нечувствительности). Однако подобные опоры конструктивно весьма сложны и значительно увеличивают габариты машины.

Рассмотрим возможность подавления главного резонанса в системе ротор-опоры при использовании нелинейных свойств шарикоподшипника с осевым предварительным натягом, который изменяет свою жесткость с увеличением частоты вращения ротора. Так как жесткость радиального упругого поля шарикоподшипника начинает изменяться по нелинейной характеристике после уничтожения усилия предварительного натяга силами инерции ротора, то до этого момента система уравнений (2.42) будет оставаться линейной (будет работать только линейное внешнее упругое поле).

Еслиперейти к упрощенной двухмассовой модели (рис. 3.40), то частное решение уравнения (3.136), описывающего движение массы nil, при невыбранном усилии натяга будет

x = sin«. (3.146)

Выражение (3.146) описывает вынужденные колебания ротора вместе с подшипником в упругом поле жесткости q. Если перейти к безразмерным величинам, то амплитуда в этом случае будет описываться выражением (с учетом колеблющейся массы опоры)

(3.147)

Для построения амплитудно-частотной характеристики необходимо определить амплитуду колебаний ротора в упругой опоре, при которой произойдет уничтожение усилия предварительного натяга. Возвращаясь к исходной системе ротор-опоры, составим дифференциальные уравнения движения .колеблющейся массы /Пз упругой опоры, включающей в себя и наружную обойму подшипника. При этом отбрасывается ротор, а его действие заменяется реакцией Р:

С1У2 • C1Z2

.(3.148)

Здесь Уз и 2 - проекции перемещения центра наружной обоймы подшипника на неподвижные координатные оси. Вводя комплексную подстановку

г 2 + y<2i = А ехр {mt).

приведем систему уравнений (3.148) к комплексному виду,

тг - - Cir + {Pyi + Р.

{Pz + Pyi) = 2* + (- т20)М + СхА) ехр (ш/).

Отсюда следует, что амплитудное значение реакции упругой опоры для случая круговой прецессии ротора

Р = YPI + Р1 = {с, - mco) Л.. (3.149)

Последнее выражение можно привести к безразмерному виду, если ввести обозначение: р = Р/фсх) - относительная величина амплитуды реакции опоры. В результате будем иметь

р 1(1 гО). (3.150)

Если решить (3.150) относительно безразмерной амплитуды перемещения наружного кольца 1х и подставить выражение (3.147) вместо 1, то получим значение безразмерной угловой скорости Q, при которой усилие предварительного натяга полностью уравновесится осевой составляющей динамической реакции со стороны вращающегося ротора и опора начнет работать как нелинейная. При этом реакция опоры равна радиальному усилию натяга:

р = Vo, где Vo = -0- f . Пренебрегая массой опоры, положим 1 = 0. Тогда моменту уничтожения натяга и переключения системы на нелинейную характеристику на плоскости параметров {1х\ й) будет соответствовать точка с координатами:

1 = Vo и Qi

(3.151)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47