ГЛАВА 4

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

И ЕЮДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ

РОТОРНЫХ СИСТЕМ

I. Ооновные положения теории подобия и моделирования

Обобщенно моделирование определяется как метод познания, при котором изучаемый объект (оригинал) находится в некотором соответствии с другим объектом (моделью), причем объект - модель способен в том или ином отношении заменить оригинал.

Обширная информация о происходящих явлениях при изучении их методами моделирования должна быть упорядочена. Это осуществляется с помощью теории подобия, позволяющей по заданным характеристикам одного явления судить о больших группах явлений, являющихся в том или ином смысле подобными первому явлению.

Подобие явлений означает, что данные о протекании процессов, полученные при изучении одного явления, можно распространить на все явления, подобные данному. Характеристики любого явления в группе подобных явлений можно получить простым пересчетом характеристик или изменением масштабов.

Все выводы теории подобия базируются на анализе размерностей физических величин .

Элементы теории размерностей. Измерить какую-либо физическую величину А - это значит сравнить ее с другой величиной [al той же физической природы.

В результате сравнения получается отвлеченное число jij, выражающее отношение рассматриваемой величины к величине [aI, называемой единицей измерения, т. е.

Измерив ту же величину А единицей [al = N Icixl, получим

Л

Исторический обзор развития теории подобия и моделирования и обширную библиографию работ, посвященных ее применению в различных. технических приложениях, можно найти, например, в работе [2]. Из литературы учебного характера кроме названной работы следует отметить "[94, 24] как обладающие Несомненными методическими достоинствами. При изложении данного материала использованы основные результаты этих работ.

откуда имеем Л1 = N {А]- Это означает, что при уменьшении или увеличении единицы измерения данной величины в N раз, во столько же раз увеличится или уменьшится число, которым эта величина выражается.

Единицы измерения могут быть основными, т. е. с произвольным выбором размера, и производными. Совокупность основных единиц и производных, образованных по определенным правилам, составляют систему единиц..

Число основных единиц вполне произвольно и может быть как увеличено, так и уменьшено путем увеличения или уменьшения числа дополнительных размерных физических постоянных [2].

Для большей наглядности будем иметь в виду только механические системы с тремя основными единицами измерения: массы [MI, длины [L] и времени [Г].

Формула, указывающая зависимость производной единицы от основной, называется размерностью величины. Размерность любой величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей основных единиц. Например, для силы имеем

IF] - lM]4L]4T]-\

При переходе к другой системе, в которой основными единицами будут;

IMJ = Р 1М]; [LJ = Q [LI;

единица производной величины также изменится, а именно

[Fil - PQR-4F] - NlFl (4.1)

Согласно правилу Фурье все члены физическогоуравнения

Ф1 -т Фз

(4.2)

имеют одинаковую размерность. Тогда, учитывая (4.1), следует отметить независимость вида физических уравнений от выбора системы единиц, поскольку числовые коэффициенты N в (4.2) можно сократить.

Покажем, что в качестве основных единиц вместо [М], [L 1Т1 можно выбрать три иные: [uil, [«аГи [и]. Пусть

[uj = ШГ ILf [ГГ-

- ШГ [Lf [Т]

Прологарифмировав эти выражения, получим систему из трех линейных алгебраических уравнений. Она будет иметь

решение, и притом единственное, если определитель, составленный из коэффициентов системы, бтличен от нуля:

«2

Pi Yi 3 Рз Тз

(4.3)

Условие (4.3) указывает также на независимость величин [ujl, [и] и [ug], так как через них можно единственным образом выразить величины [М], [L], [TJ.

Например, основными величинами могут быть длина, модуль упругости и ускорение, поскольку соответствующий определитель D == -2. Но для длины, ускорения и времени D = О, поэтому они не являются независимыми и их размерности не могут быть использованы в качестве основных единиц.

Подобие явлений и его признаки. При протекании физического процесса меняются величины, характеризующие состояние системы. Эти величины будем далее называть параметрами процесса (например, силы, скорости, ускорения и т. п.).

Система, в которой происходят процессы, состоит из элементов, которые характеризуются своими параметрами, или параметрами системы (например, массы тел, коэффициенты жесткости и т. п.).

Для подобия двух явлений требуется, чтобы во все сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства параметры процессов и элементов одной системы были пропорциональны соответствующим параметрам другой системы, т. е.

PilRim,, (4.4)

где Pi, Ri - сходственные параметры процессов и элементов систем Р и R; rrii - коэффициенты подобия, или масштабы сходственных параметров.

В зависимости от характера пространственного соответствия

если т. т

различают геометрическое подобие -и афинное подобие - если =h Шу =ф=

С точки зрения соответствия физической природы подобных явлений различают два >ида подобия: 1) физическое подобие, которое осуществляется при одинаковой физической природе подобных явлений; 2) математическое подобие, которое требует только одинаковой формы уравнений, описывающих физически разнородные явления.-

В технических задачах иногда выделяют более частные виды физического подобия: а) кинематическое - подобие скоростей и ускорений; б) динамическое - подобие сил; в) тепловое - подобие температур и т. д.

Условия, которым должны удовлетворять системы, чтобы они были подобны, а также правила перехода от натурной системы к модели и обратно, устанавливаются с помощью трех основных

теорем о подобии. Первая и вторая (я) теоремы получены для заранее подобных явлений; третья теорема дает необходимые и достаточные условия для подобия явлений. Приведем эти тео-)смы без-строгих доказательств.

Первая теорема подобая: у подобных явлений можно найти определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, имеющие одинаковые значения.

имеются два подобных процесса:

Пусть

Ф1 -1- Ф2

Ф1 + Ф

Ъ Ф/ - 0;

(4.5)

Так как ф„ и Ф„ не равны нулю, то уравнения (4.5) можно переписать в виде:

(4.6)

(4-7)

Пусть ф-ф;(Р1, Рз..... Ф/Ф/ (1, Rm)-

функции, имеющие ненулевую размерность; Р-, R (i = 1, 2, ... т) - сходственные параметры процессов. Так как процессы подобны, то, учитывая (4.4), имеем: Pi = - miRi, откуда фу = NjOj, причш = = ... = = N, Подставив последнее равенство в (4.6) и сократив N, получим, что уравнения (4.6) и (4.7) тождественны, т. е.

Ф1/Ф« - Ф1/Ф«; Ф2/Ф« - Ф2/Ф«; ...; ф«-1/ф« Фпг/Фп

Ф Фгг = idem, [(4.8)

где idem означает «соответственно одинаково для всех подобных процессов», или критерий подобия.

Очевидно, что если уравнения (4.6) и (4.7) содержат функции, имеющие нулевую размерность, и при этом подобие процессов существует, то аргументы этих функций должны быть равны, являясь в этом случае также критериями подобия. Например, если фу = sin o)t, то со/ idem.

Критерии подобия принято обозначать Я/, где k - номер критерия. »

Критерии подобия могут преобразовываться в критерии другой формы, получаемые за счет операции умножения или деления

Строгие доказательства теорем можно найти, например, в цитированной выше работе [24].

ранее найденных критериев друг на друга или на какой-либо из них. Так, еслия idem, Яу = idem, то я Яу = idem, sifnj =

= idem, я

idem, и т. д.

Таким образом, для определения основных критериев подобия из уравнения,- содержащего п членов, необходимо произвести деление членов уравнения на какой-либо из них, отбросив затем символы дифференцирования и интегрирования, а также функции нулевой размерности. К полученным в результате этих операций п - 1 основным критериям необходимо присовокупить а дополнительных критериев - аргументов входящих.в члены уравнений функций нулевой размерности. Данный способ называется способом интегральных аналогов [24 ].

Общее число критериев, найденных данным способом, равно (п - 1) -f .

Способ интегральных аналогов, обладая достаточной простотой, может быть применен только при известных уравнениях физического процесса.

Правило перехода от- натуры к модели при известных критериях подобия выясним на примере прямолинейного движения материальной точки массы Mq под действием силы F:

Применив метод интегральных аналогов, получим

Ях = MoXliFf) = idem.

Вместо я, с учетом (4.4), можно записать равносильное ему выражение, называемое индикатором подобия

тм,тх1(трт1) = 1.

Последнее выражение является исходным для перехода от натуры к модели и обратно.

Вторая теорема подобия (я-теорема): всякое полное уравнение физического процесса может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия составленных из входящих в уравнение параметров.

Запишем первое из уравнений (4.5) в виде

(4.9)

Входящие в (4.9) параметры можно выразить в долях от некоторых характерных величин Poi» Роз» -omi имеющих такие же единицы измерения. При этом (4.9) можно записать следующим образом:

(4.10)

Так как число основных единиц равно трем, то из т величин Р можно выбрать произвольно только три независимые между собой величины; остальные m - 3 единиц будут являться их функциями вида

(4.11)

Pos = Ро1РШ! (45 ш).

Показатели степеней yi (i = 1, 2, 3) определяются по формуле

yi-DjD, (4.12)

где D - определитель, составленный аналогично определителю (4.3) для величин Poi, Poai оз; - определитель, получаемый из D посредством замены i-й его строки на строку, составленную из. показателей степени в формуле размерностей величины Pos- .

Три независимые величины можно выбрать произвольно и принять, например: Pqi Pi; Роа = а оз = з- При этом уравнение (4.10) примет вид

12 3

(4.13)

Так как единицы измерения числителей и знаменателей в (4.13) равны, исходное уравнение (4.9) можно представить в виде

f (I, 1, 1, пп-з) О-

Выражение (4.14) можно записать в виде

* я = Ф (Яа, Яз, Яг-з)1

(4.14)

(4.15)

т. е. имеется т - 4 независимых критериев, при соблюдении которых зависимый критерий выполняется автоматически.

Примечание. Согласно первой теореме подобия, критериями подобия процессов могут быть безразмерные соотношения членов уравнения, при ЭТ9М число критериев на единицу меньше числа членов уравнения. Покажем, что это не противоречит выводам второй!теоремы о наличии ш -3 критериев. Действительно, из (4.6), (4.9) и (4.14) следует

1L

P(Pl, . . ., PJ =:Р(Я1, , . Hms) ==Яу,

т. е. критерии подобия, полученные способом интегральных аналогов, являются степенными комбинациями критериев, полученных на основе я-теоремы. •Щ Необходимо отметить, что применение я-теоремы является единственным способом установления критериев подобия процессов, уравнения которых еще неизвестны, но известнывеличины, участвующие в процессе.