Ру - проекции гидродинамических сил при поступательных перемещениях цапфы на оси , т) [83]:

\iG)l ,j .

(/a + e/,)i]+(/;!

р/?2/

[(/7

(/s+e/,o]+j(a+/,

(4.60)

Здесь 8 = 6(o/v - безразмерный параметр, учитывающий инерцию смазочного слоя; If, = (С; 1/D; А,) ()fe = 1, 2, 12) - безразмерные коэффициенты, зависящие от коэффициента нагру-женности подшипника S, относительной длины 1/D и параметров А. (t = 1, 2, п), характеризующих геометрию масляного слоя (приложение 3); остальные обозначения соответствуют принятым Б гл. 1, п. 3.

Применив к уравнениям (4.59) метод интегральных аналогов, с учетом (4.60) и соотношения 2[х/(о/(МфЗ) = g/(26) получим следующие критерии подобия:

щ = 1/D; tCq = g/(6(o2); щ = бсо/г;

(4.61)

Здесь G - нагрузка на подшипник.

Динамические критерии (4.61) идентичны критериям, полученным В. Я. Кальменсом [39] из уравнений Навье-Стокса.

Будем считать смазку в натурном и модельном подшипниках одинаковой, поскольку именно этот случай имеет наибольшую практическую ценность.

1 из критериев п-щ получим: mi гпе = тй. (4.62)

Тогда, при т mi

то\ = mt т

Одновременное равенство критериев и щ при возможно, если -

Щ = ГПа, 1.

т„ = 1

(4.63)

Тогда, из критерия щ с учетом (4.62) и (4.63) получим

[тп == mt = тУ\ (4.64)

Равенство критериев 8+,- требует сохранения геометрии зазора, т. е.

тд = 1. (4.65)

Если смазка в подшипник подается под избыточным давление! /7, то исходя из формулы размерности Ipl = [GtDl получим

(4.66)

Выполнение масштабных соотношений (4.62)-(4.66) при усло-4 вии равенства температур масла на входе в натурный и модельный подшипники обеспечивает их динамическое подобие.

Следует отметить, что выполнение условия т = 1 приводит к различию относительных зазоров натурного и модельного подшипников, т. е. к неполному геометрическому подобию. Однако, как показано М. В. Коровчинским [62], это равносильно тому, что Б уравнениях движения смазки пренебрегают вязкими членами порядка малости ор.

Перейдем теперь к сравнению возможных вариантов модели системы гибкий ротор-подшипники скольжения.

Модель 3 (табл. 4.1) имеет = 1, то = т, где тх -

масштаб длины вала. Тогда, с учетом (4.64) имеем

1,25

mi = то = тх -

(4.67)

Как указывалось выше, недостатком системы является увеличение углов прогиба вала в т- раз.

Модель 2 имеет ротор, у которого = 1, " тх, ffif т7. Для данного случая из критериев Пб и щ последовательно находим:

т - тх, mi == то

(4.68)

В то же Бремя, варьирование масштаба скорости m„ вызывает несоблюдение идентичности критерия учитывающего подобие сил инерции смазки, что является определенным недостатком данной модели.

В связи с этим модель 3 может быть рекомендована как основная, и только для систем с довольно гибкими роторами и длинными подшипниками можно рекомендовать модель 2.

Пример"4,4. Пусть натурный подшипник скольжения характеризуется следующими данными: форма расточки вкладыша - цилиндрическая; угол рабочей зоны масляного слоя 120°; смазка маслом турбинным 22 при температуре 50° С; нагрузка на цапфу Он = 2000 кгс; диаметр цапфы Dh = 20 см; длина цапфы 1н - 16 см; радиальный зазор 6н - 0,02 см; давление масла на входе рн = 2 атм.

Требуется рассчитать динамическую модель данного подшипника при то = = 0,01 и = 1.

В соответствии с формулами (4.62)-(4.66) находим:

т = mi = т]1 = 0.316; D„ = mD 5 см; = 6,3 см; Щ 1; бм бн = 0,02 см; Gm = moGn = 20 кгс; тр = Уто = 0.1;

Рм = ЩРа = 0,2 атм.

кроме того, модель должна иметь одинаковые с натурой форму расточки вкладыша, угол рабочей зоны масляного слоя, сорт и температуру смазки и угловую скорость цапфы.

Подобие подшипников качения . Вывод критериев подобия произведем на основе анализа сил, действующих в подшипниках.

Для стандартных шариковых подшипников зависимость между приложенной статической нагрузкой G и деформацией контактных поверхностей б имеет вид [11]

G - сбз/2, с = kid/ cos p.

(4.69) (4.70)

Здесь k - коэффициент пропорциональности; i - число тел качения; d - диаметр шариков, см; р - угол контакта тел качения с кольцом подшипника, рад.

При нагружении подшипника внешней статической нагрузкой будет наблюдаться неравномерная загрузка шариков и неравномерная по окружности деформация контактных поверхностей. На распределение нагрузки и деформаций оказывает также существенное влияние радиальный зазор А, который уменьшает угол нагруженной зоны и увеличивает давление на наиболее нагруженный шарик. Под действием сил неуравновешенности центр шипа будет совершать колебания вокруг точки статического равновесия, причем между силой упругости Р и вектором смещения центра шипа из положения равновесия р будет иметь место соотношение

с (б, ф) рр1

(4.71)

Здесь с (б, ф) выражает зависимость жесткости упругого поля подшипника от статической деформации б и полярного угла ф.

При больших частотах вращения центробежные силы шариков создают значительные нагрузки на наружные кольца подшипников и тем самым вследствие нелинейной зависимости (4.69) оказывают влияние на жесткость упругого поля подшипника. Суммарная центробежная сила F, действующая на кольцо со стороны шариков [11],

"12"

dDi,

(4.72)

(4.73)

Здесь D - диаметр по центрам тел качения, см.

Во избежание многоярусных индексов в обозначениях масштабов величин, обозначения, принятые в данном параграфе, отличаются от обозначений соответствующих величин в гл. 2 и 3.

Подобие сил демпфирования в подшипниках качения бyдet рассмотрено условно из-за отсутствия достоверных данных по их количественной оценке. Следуя Э. Л. Позняку [82], запишем выражение для сил демпфирования в виде

F=. -Ьp~да (4.74)

коэсхзи-

где b - коэффициент вязкого трения, кгс-с-см~; q циент нелинейного трения, кгс-с-см".

В качестве внешних сил Q принимаем силы неуравновешенности, вызываемые эксцентриситетом центра тяжести шипа е.

Для стандартных роликовых подшипников зависимость между приложенной статической нагрузкой G и деформацией б может быть принята линейной и выражена приближенной форлгулой вида [77]:

G = cb, (4.75)

где .

с - kidH. (4.76)

Здесь d - диаметр роликов, см; / - длина роликов, см.

В данном случае между силой упругости Р и вектором смещения центра шипа из положения статического равновесия р имеет место соотношение

9=~ср, (4,77)

Суммарная центробежная сила, действующая на наружное кольцо со стороны роликов, имеет вид (4.72), где

nydHDL (4.78)

Выражения для сил демпфирования и внешних сил Q принимаем аналогичными предыдущему.

Поскольку для применения я-теоремы достаточно знать лишь те параметры, которыми характеризуется исследуемый процесс, а составление дифференциальных уравнений связи необязательно, запишем уравнение динамики шипа в подшипнике качения в виде общей функциональной зависимости от перечисленных выше параметров;

/ (G, Р, f, f. Q, б, р, е. А, g, с, а, Ь, q, со, t) - 0. (4.79)

Выбрав в качестве независимых величин G, б, о, путем анализа размерностей остальных параметров получим критерии подобия шариковых подшипников:

Я1 = P/G = FIG FJG = Q/G; = p/S ~ elb = A/6; Щ = g/(6o)2); П4 = c/(G6-); = a/(G6); = b/(G6-io)-i); Щ = 9/(G6-o)-); = oyt

(4.80)

Сохранение величины ускорения свободного падения требует выполнения следующего масштабного соотношения, вытекающего из jXg:

(4.81)

Из остальных критериев подобия получаем;

гПс = шаШб у

ть = татб

тд = татб /nV

(4.82) (4.83)

(4.84)

(4.85)

Здесь и в дальнейщем под масштабом любой величины понимается отношение ее модельного значения к натурному. Поскольку между /П(д и /Пб существует функциональная зависимость (4.81), число независимых величин уменьшается на единицу. Покажем, что оставшиеся две величины, например G и б, также не являются независимыми, а выражаются через конструктивные параметры подшипников iy dy D, cos p. Действительно, учитывая (4.70) и (4.73), можно записать:

(4.86)

гпд тттг,.

Подставив (4.86) и (4.87) в (4.82) и (4.83), найдем:

та mimWffn%l ;

(4.87)

Шб = msTUmJil\

-1/5 1/5

(4.88)

Выражения (4.88) являются основными при расчете динамических моделей быстроходных шариковых подшипников.

Если моделирование производить без учета центробежных сил шариков, то 5 О и, кроме того, число независимых величин возрастает на единицу. В качестве последней можно выбрать любую из G, б, (0. Так, в случае независимой G имеем:

m-EmyWfmJ,.

(4.89)

Соотношения масштабов для двух других случаев можно легко вывести из (4.88)

Критерии подобия (4.80), выведенные для шариковых подшипников, можно распространить и на роликовые подшипники, за исключением jx, который в данном случае имеет вид

откуда

Шс тоЩ .

(4.90)

(4.91)

По аналогии с вышеизложенным, учитывая соотношения (4.76) и (4.78), находим:

т mimTmDrtiu m6 = mTm\i% т=тТ°т-Б"\ (4.92)

Без учета центробежных сил роликов и при независимой величине G выражения (4.92) имеют вид:

3/41/2,

„3/8-1/4

momt mdmi ; maW/m]iW/\

(4.93)

Пример 4.5. Рассчитать динамическую модель шарикоподшипника 324, имеющего i - 8; d = 4,286 см; D = 19 см; cos р = 1 и несущего шип весом 2000 кгс.

Предполагаемая нагрузка модельного подшипника Ом - 30 кгс. Задавшись по каталогу типом модели, например подшипником 304, имеющим 1=7; d = - 0,953 см; D = 3,6 см; cos р = 1, находим следующие значения масштабных коэффициентов: Шс - 0,87; = 0,222; то = 0,19; т = 1.

По формулам (4.88) определяем: то = 0,0157; mg = 0,11; т = 3,0; откуда Ом = 31 кгс.

Поскольку найденный вес модельного шипа близок к предполагаемому, можно остановиться на выбранном типе пoдшипникai для которого, как следует

из (4.81), = Шр = те

0,11.

15 А. с. Кельзон и