Промышленный лизинг
Методички
При нагружении основной системы (рис. 5.9) только заданными силами уравнения изгибающих моментов на участке кольца О < ф < я следующие: М5(ф)=-0,5(Р4 + Р)/-З1пф; 0<ф<:-; М (ф) 0,5 (Р4 + Я) г sin ф - / sin (ф - ); з-<Ф<~у-; (5.9) (ф) = 0,5 {Ра + Р) г sin ф - г sin (ф - х) п . / 2я \ 2я --Prsin ( ф-- ~з" < ф < Я. При составлении выражений (5.9) и~в дальнейшем принято следующее правило знаков: момент считается положительным, если он уменьшает кривизну кольца, и наоборот. Рис. 5.8. Результирующая схема нагру- Рис. 5.9. К раскрытию статической жения упругого кольца неопределимости При нагружении основной системы только единичными продольными силами (рис. 5.10) и только единичными моментами (рис. 5.11) уравнения изгибающих моментов будут иметь вид: (ф) = (1 - cos ф); Л1Лф)= 1. (5.10) (5.11) Тогда главные перемещения канонических уравнений будут: EJ J лд2 1 Зя/ (5.12) EJ J 2яг Ж (5.13) Рис. 5.10. Упругое кольцо, нагруженное в месте сечения единичными продольными силами Рнс. 5.11. Упругое кольцо, нагруженное в месте сечения единичными моментами Свободные члены канонических уравнений будут иметь значения: бю = • 2 Jt/3 2jt/3 EJi J Mo Mir d(p Jt/3 ( V Зя \ 6 3 P. {V Зя 2Л/3 (5.14) jt/3 2Я/3 М\М%г d(p MlMr йф jt/3 MlMr d)=~ 12P + 3 (P4 " P2)] 2Л/3 Перекрестные перемещения бю == б 12 - 21 - J 2ягД EJ (5.15) (5.16) 233 Подставив значения перемещений согласно формулам (5.12)- (5.16) в канонические уравнения (5.8) и решив их относительно Xi и Xg, найдем: \ 3 (2Р. - Pi); (5.17) Составим выражение изгибающего момента от всех силовых факторов М(ф) - Mq (ф) + ХхМх (ф) + ХаМа (ф), где Л1о (ф) - изгибающий момент от действия только заданной нагрузки. Перепишем последнее выражение с учетом (5.17) иначе: «1 М (ф) = aj sin ф +52 cos ф +«3, (Р4 + Р)П «2 = - (2Р2 - Р4) П 1 = 4(р.-р.)г «з; О < ф 3 , = У(Р,Р,)г; з-<Ф< „III i(P2"2P4)r; аз" = аз; <: Ф < я; i-(P2-P)r; «Г «з; я<: ф <: -g~; (Р2-2Р4)/-; «Г CPa-Pi-P)/-; -(Р2 + Р4)Г, 4я 5я (Р + Р4) г; = (Р,- 2Р2) г; 5я аз = аз, <: Ф < 2я. (5.18) (5.19) Таким образом, задача расчета статически неопределимого кольца (см. рис. 5.8) сведена к задаче расчета статически определимого кольца (см. рис. 5.9). В этой задаче подлежат определению три неизвестные величины: усилия и Р4 и просадки А под действием силы Р, Составим три уравнения для определения этих неизвестных. Групповое перемещение в точках Ли/). Приложим к основной системе (см. рис. 5.9) в точках Л и D единичные силы, как показано на рис. 5.12. Уравнение изгибающего момента на участке кольца О < ф <: я М1(ф) -0,5г sin ф. (5.20) Искомое групповое перемещение точек Л и D, учитывая симметрию системы относительно прямой AD,. Jt/3 ММ\гйц) 2я/3 2Л/3 jt/3 HI лл1. Рис, 5.12. К определению групповых перемещений кольца в точках i4 и D Воспользовавшись выражениями (5.18)-(5.20) и произведя интегрирование, получим (Р.-Я.) (5.21) Групповое перемещение в точках С я F. Приложим к основной системе в точках С и F единичные силы, как показано на рис. 5.13. Изгибающий момент от единичной нагрузки отличен от нуля лишь на участке кольца 2я/3 <: ф < 5я/3, где он равен • Мр(ф)=-г5т(ф-). (5.22) Искомое групповое перемещение в точках С и F равно 64-6, 2я/3 4Л/3 MMVr ф 5jt/3 4Я/3 MMYrd(p. Подставив в последнее выражение зна*!ения момекта от основной нагрузки (5.18) и момента от единичной нагрузки (5.22), подучим, учитывая (5.19), второе уравнение бг 4- бс- = - 1Уъ я 4 + 6" я "24 (Л - Рг) (5.23) Групповое перемещение в точках By D и F. Приложим в точках В, D я F к основной системе (см. рис. 5.9) единичные силы Рис. 5.13. К определению групповых перемещений кольца в точках С и F Рис. 5.14. К определению групповых перемещений кольца в точках В, D я F (рис. 5.14). Изгибающий момент от единичной нагрузки на участке кольца О <: ф п/3 равен нулю, а на участке кольца зх/3 < ф < я имеет значение rsin ( ф (5.24) Искомое групповое перемещение системы в точках В, D я F, учитывая симметрию кольца и нагрузки относительно вертикальной оси, 2л/3 Я бп -1- бр = - Jt/3 М"мГгйф. 2Я/3 Воспользовавшись соотношениями (5.18), (5.19), (5.24), будем иметь б + б 9 \ 4я я 12
"12" . (5.25) Заметим, что, если в выражении (5.25) положить Р = Р ~ О, а затем Р = О, то полученные формулы будут совпадать с приведенными в книге [86]. Запишем уравнения (5.21), (5.23), (5.25) в виде одной системы уравнений: Кз" б + б :J [\ 4 п EJ я 3 2 1/; з\ я 4 EJ LV24 6d + 9 12 Из рис. 5.8 имеем EJ 1\ 18 3 N 61 - 62 А; б 61-6, 12 . я . 3 ] (5.26) 8р = Зб; (5.27) Вычтя из второго уравнения системы уравнений (5.26) первое и учтя (5.27), найдем 36 6 j EJ EJ (5.28) Из (5.28) можно получить значение жесткости упругого кольцасх в направлении силы Р при отсутствии зазоров под всеми выступами Ci = ==6,7724-. (5.29) Как и следовало ожидать, вследствие линейности рассматриваемой задачи и малости величин б и 62, жесткость кольца Ci не зависит от предварительных натягов. Из системы уравнений (5.26), учитывая (5.27) и (5.28), можно получить силы Рг и Р4, выраженные через предварительные натяги 61 и 62, а также через внешнюю нагрузку Р. Выражая коэффициенты в численном виде, находим: Р - (314,0006i -280,88262)+ 0,3334Р; (5.30) 4 = -г (314,00062 -- 280,882Si) - 0,3334Р. (5.31) 237 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 |