Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47

При нагружении основной системы (рис. 5.9) только заданными силами уравнения изгибающих моментов на участке кольца О < ф < я следующие:

М5(ф)=-0,5(Р4 + Р)/-З1пф; 0<ф<:-; М (ф) 0,5 (Р4 + Я) г sin ф - / sin (ф - );

з-<Ф<~у-;

(5.9)

(ф) = 0,5 {Ра + Р) г sin ф - г sin (ф - х)

п . / 2я \ 2я --Prsin ( ф-- ~з" < ф < Я.

При составлении выражений (5.9) и~в дальнейшем принято следующее правило знаков: момент считается положительным, если он уменьшает кривизну кольца, и наоборот.



Рис. 5.8. Результирующая схема нагру- Рис. 5.9. К раскрытию статической жения упругого кольца неопределимости

При нагружении основной системы только единичными продольными силами (рис. 5.10) и только единичными моментами (рис. 5.11) уравнения изгибающих моментов будут иметь вид:

(ф) = (1 - cos ф); Л1Лф)= 1.

(5.10) (5.11)

Тогда главные перемещения канонических уравнений будут:

EJ J

лд2 1 Зя/

(5.12)

EJ J

2яг Ж

(5.13)


Рис. 5.10. Упругое кольцо, нагруженное в месте сечения единичными продольными силами


Рнс. 5.11. Упругое кольцо, нагруженное в месте сечения единичными моментами

Свободные члены канонических уравнений будут иметь значения:

бю =

• 2

Jt/3

2jt/3

EJi J

Mo Mir d(p

Jt/3

( V Зя \ 6

3 P.

{V Зя

2Л/3

(5.14)

jt/3

2Я/3

М\М%г d(p

MlMr йф

jt/3

MlMr d)=~ 12P + 3 (P4 " P2)]

2Л/3

Перекрестные перемещения

бю == б

12 - 21 - J

2ягД EJ

(5.15)

(5.16) 233



Подставив значения перемещений согласно формулам (5.12)- (5.16) в канонические уравнения (5.8) и решив их относительно Xi и Xg, найдем:

\ 3

(2Р. - Pi);

(5.17)

Составим выражение изгибающего момента от всех силовых факторов

М(ф) - Mq (ф) + ХхМх (ф) + ХаМа (ф),

где Л1о (ф) - изгибающий момент от действия только заданной нагрузки.

Перепишем последнее выражение с учетом (5.17) иначе:

«1

М (ф) = aj sin ф +52 cos ф +«3,

(Р4 + Р)П «2 = - (2Р2 - Р4) П

1 = 4(р.-р.)г

«з; О < ф 3 , = У(Р,Р,)г;

з-<Ф<

„III

i(P2"2P4)r;

аз" = аз;

<: Ф < я;

i-(P2-P)r; «Г

«з; я<: ф <: -g~;

(Р2-2Р4)/-;

«Г

CPa-Pi-P)/-;

-(Р2 + Р4)Г,

4я 5я

(Р + Р4) г; = (Р,- 2Р2) г; 5я

аз = аз,

<: Ф < 2я.

(5.18)

(5.19)

Таким образом, задача расчета статически неопределимого кольца (см. рис. 5.8) сведена к задаче расчета статически определимого кольца (см. рис. 5.9). В этой задаче подлежат определению три неизвестные величины: усилия и Р4 и просадки А под действием силы Р,

Составим три уравнения для определения этих неизвестных.

Групповое перемещение в точках Ли/). Приложим к основной системе (см. рис. 5.9) в точках Л и D единичные силы, как показано на рис. 5.12. Уравнение изгибающего момента на участке кольца О < ф <: я

М1(ф)

-0,5г sin ф.

(5.20)

Искомое групповое перемещение точек Л и D, учитывая симметрию системы относительно прямой AD,.

Jt/3

ММ\гйц)


2я/3

2Л/3

jt/3

HI лл1.

Рис, 5.12. К определению групповых перемещений кольца в точках i4 и D

Воспользовавшись выражениями (5.18)-(5.20) и произведя интегрирование, получим

(Р.-Я.)

(5.21)

Групповое перемещение в точках С я F. Приложим к основной системе в точках С и F единичные силы, как показано на рис. 5.13. Изгибающий момент от единичной нагрузки отличен от нуля лишь на участке кольца 2я/3 <: ф < 5я/3, где он равен

• Мр(ф)=-г5т(ф-). (5.22)

Искомое групповое перемещение в точках С и F равно

64-6,

2я/3

4Л/3

MMVr ф

5jt/3

4Я/3

MMYrd(p.



Подставив в последнее выражение зна*!ения момекта от основной нагрузки (5.18) и момента от единичной нагрузки (5.22), подучим, учитывая (5.19), второе уравнение

бг 4- бс- = -

1Уъ я

4 + 6"

я "24

(Л - Рг)

(5.23)

Групповое перемещение в точках By D и F. Приложим в точках В, D я F к основной системе (см. рис. 5.9) единичные силы



Рис. 5.13. К определению групповых перемещений кольца в точках С и F

Рис. 5.14. К определению групповых перемещений кольца в точках В, D я F

(рис. 5.14). Изгибающий момент от единичной нагрузки на участке кольца О <: ф п/3 равен нулю, а на участке кольца зх/3 < ф < я имеет значение

rsin ( ф

(5.24)

Искомое групповое перемещение системы в точках В, D я F, учитывая симметрию кольца и нагрузки относительно вертикальной оси,

2л/3 Я

бп -1- бр = -

Jt/3

М"мГгйф.

2Я/3

Воспользовавшись соотношениями (5.18), (5.19), (5.24), будем иметь

б + б

9 \ 4я

я 12

- Р4

"12"

. (5.25)

Заметим, что, если в выражении (5.25) положить Р = Р ~ О, а затем Р = О, то полученные формулы будут совпадать

с приведенными в книге [86].

Запишем уравнения (5.21), (5.23), (5.25) в виде одной системы уравнений:

Кз"

б + б

:J [\ 4 п

EJ я 3

2 1/; з\

я 4

EJ LV24

6d +

9 12 Из рис. 5.8 имеем

EJ 1\ 18 3 N

61 - 62

А; б

61-6,

12 . я .

3 ]

(5.26)

8р = Зб;

(5.27)

Вычтя из второго уравнения системы уравнений (5.26) первое и учтя (5.27), найдем

36 6 j EJ EJ

(5.28)

Из (5.28) можно получить значение жесткости упругого кольцасх в направлении силы Р при отсутствии зазоров под всеми выступами

Ci = ==6,7724-. (5.29)

Как и следовало ожидать, вследствие линейности рассматриваемой задачи и малости величин б и 62, жесткость кольца Ci не зависит от предварительных натягов.

Из системы уравнений (5.26), учитывая (5.27) и (5.28), можно получить силы Рг и Р4, выраженные через предварительные натяги 61 и 62, а также через внешнюю нагрузку Р. Выражая коэффициенты в численном виде, находим:

Р - (314,0006i -280,88262)+ 0,3334Р; (5.30)

4 = -г (314,00062 -- 280,882Si) - 0,3334Р.

(5.31) 237



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47