уравнения (5.30) и (5.31) позволяют рассчитать кольцо на отсутствие зазоров при действии на него заданной нагрузки Р. Как показывает опыт использования кольца (см. рис. 5.4) в качестве упругой опоры для горизонтальных роторов, зазоры под выступами оказывают пагубное влияние на динамику ротора, приводя к повышению вибрации ротора и всей машины в целом.

Условием отсутствия зазора под наружным выступом D является (см. рис. 5,8) Рг > Р- Условием отсутствия зазоров под верхними внутренними выступами Е и С является Р > 0. Запишем эти два условия, используя (5.30) и (5.31):

(314,0006i - 280,88262) - 0,6666Р > 0;

(314,00062 -280,8826i) - 0,3334P > 0.

(5.32)

В случае, если известны сила Р и один из натягов, например б, второй натяг должен определяться из условия, следующего из (5.32),

Рг Р 3

0,8946i + 1,062.1 LL- 62 < 1,1186i - 2,373 10 -r • (5-33)

Если предположить, что натяги одинаковы (б = 62 равенства (5.32) можно преобразовать к виду:

Р < 49,682

Р<: 99,334-

б), то не-

Первое из этих неравенств более сильное, поэтому условием отсутствия зазоров под всеми выступами кольца будет

Р< 49,682

6EJ г"

(5.34)

Перепишем последнее условие иначе:

б > 0,020128

(5.35)

Из (5,35) можно определить минимальное значение натяга б = ~ 6jL = 62 из условия отсутствия зазоров под всеми выступами при заданной нагрузке Р, вектор которой проходит через внутренний выступ.

Определим жесткость упругого кольца в случае образования зазора под верхним внешним выступом D (рис. 5.4). В этом случае система уравнений (5,26) остается справедливой, если положить в ней Ра = Р. Схема нагружения кольца при этом приобретает вид рис. 5.15. Последних два уравнения системы уравнений (5.27) перестают быть справедливыми, так как теперь уже б = б.

Величина б, становится- неизвестной. Избавляясь от нее в Уравнениях (5.26), получим два уравнения для определения Д и Р4-

бл -

[\ 4

V 4 2л )

V я \ 4

2л 1

(5.36)

Рис, 5.15. Схема нагружения кольца после отрыва выступа D

Рис. 5.16. Схема нагружения кольца после отрыва выступов С, D я Е

Из рис. 5.8 имеем:

6f - бл = 26i бг = 61 - 62

б. 0,5А.

А; ]

Учитывая (5.37), найдем из (5.36):

0,9297Р + 62,7406

EJ .

2 3

(5.37)

(5.38)

(13,1666i- 13,09462+ 6,5830А).

(5,39)

Из выражения (5.39) можно получить жесткость кольца

с[ 6,5830

(5.40)

Подсчитаем жесткость кольца после отрыва верхних внутренних выступов £ и С. Схема нагружения кольца в этом случаепредстав-лена на рис. 5.16. Положив в первом уравнении системы уравнений (5.36) Р4 = О и воспользовавшись первым уравнением (5,37),

получим соотношение, связываюш.ее между собой силу Р и дефоо-мацию кольца для этого случая,

Отсюда найдем

2л EJ

Я = 5,1751(2бх + б2 + Л)

(5.41)

(5.42)

Жесткость кольца в этом случае

= 5,1751

(5.43)

Сравнивая жесткости кольца, определяемые формулами (5.29), (5.40) и (5.43), видим, что исследуемое упругое кольцо обладает кусочно-линейной жесткостной характеристикой, однако нелинейность характеристики выражена слабо [жесткость по формуле (5.43) отличается от жесткости по формуле (5.29) лишь на 23,6% ].

Можно показать аналогично, что при замене направления силы Р на рис. 5.5 на противоположное выражения для усилий под выступами, условия отрыва выступов, а также жесткости кольца не изменятся (при этом вначале будет отрываться внутренний выступ А, а затем наружные выступы Вир).

У реальных колец ширина выступов, характеризуемая углом а (рис. 5.4), соизмерима с длиной упругого элемента. Учтем этот факт, как рекомендуется в работе [52], с помощью коэффициента

ц = (120°-а")/120". (5.44)

С учетом коэффициента ц перепишем формулы (5.29), (5.40) и (5.43):

Cl = 6,7724

3 »

с[ = 6,5830

3 >

cl = 5,1751

(5.45)

Построение графических зависимостей сил Р, Л-от просадки кольца Л для случая одинаковых натягов б = 6 = 63.

При отсутствии зазоров на основании (5.29) имеем

7 Ргз

6,7724А.

Усилия под выступами находим по формулам (5.30), (5.31), (5.6), (5,7):

-Щ- = 33,118 - 4,508А; = Л 33,118 +2,254А;

Р = Р, 33,118 - 2,254А; = 33,118 = Д/б.

4,508А. Здесь А

После отрыва в точке D (при А 7,355) по формулам (5.38), (5.39) находим: . "

Р 0,072 + 6,583А; ?1 0; Рз Р3 Р; = р 62,673-6,120А; Р, = 64,074 -f 0,463А.

После отрыва в точках £ и С (при А = 9,873) по формуле (5.41) получаем р; = Р = р; Р = Р Р = Р,Р-= 5,175 (3 + А).

По полученным выражениям на рис, 5.17 построены зависимости усилий под выступами от просадки кольца А.

Расчет прочности упругого кольца. Основным режимом работы упругого кольца должен считаться режим, при котором отсутствуют зазоры под всеми выступами. Произведем расчет прочности кольца для этого случая.

Предположим, что первоначальные натяги одинаковы б = = 62.

Учитывая формулы (5.19), (5.30) и (5.31), сгруппируем слагаемые, зависящие от предварительного напряжения кольца и от внешней нагрузки. Тогда

выражение изгибающего момента (5.18) запишем в виде

Рис. 5.17. Зависимости безразмерных усилий под выступами и внешней нагрузки от просадки вала

М (ф) - Мх (Ф) +М (ф),

(5.46)

Ml (ф) = (16,56 sin ф - 9,57 cos ф) М1(Ф)= 19,14- cos ф Л11(ф) ==-(16,56 sin ф 4-9,57 cos ф) Мг (ф) = (0,333 Sin ф - 0,289 cos ф) Рг

М2 (ф) = 0,167siПфP/• f2 (ф) = (0,333 sin ф + 0,289 cos ф) Рг

16 д. с. Кельзон и др.

О <Ф <

< ф <

О < Ф <

< ф <

< ф < JX.

(5.47)

3 2я

2я 3

<: Ф < П.

(5.48)

На рис. 5,18 построены зпюры изгибающих моментов (ф) и ТИа (ф)- Из рисунка следует, что абсолютная величина.изгибающего момента максимальна в сечении А кольца при ф = 0. Здесь момент равен

9,57-™0,289Рл

(5.49)

Определим продольную силу Л. Из рис. 5.9 находим: (ф) = 0,5 (Р -j- Р) sin ф - Xi cos ф, О <: ф <:

N (ф) = 0,5 (4 4- Р) sin ф - jci cos ф - Рз sin (ф - ) ,

я 2я

-о~ < Ф <

3

N (ф) = 0,5 (Р4 4- Р) Sin ф - xi cos ф - Рз sin (ф -

4-Р4 51п(ф -

2я •

Рис. 5.18. Эпюры изгибающих моментов и продольных сил: а - от предварительного напряженного состояния; б - от действия внешне-й нагрузки

Подставляя в полученные выражения значение х по формуле (5.17), а также значения сил Р и Р4 по (5.30) и (5.31), положив в них б = 61 62, выделяя слагаемые, зависящие от предварительного напряжения кольца и от внешней нагрузки, найдем

N (ф) = Nx (Ф) + N, (ф),

Л1(ф) - (16,56 Sin ф -9,57 COSф)- О < ф < -3-;

iVi(9)= 19,14-f COS ф

Ml (ф) = - (16,56 Sin ф -f- 9,57 cos ф) N2 (Ф) (0,333 sin ф - 0,289 cos ф) Р Лз (ф) = 0,167Р81Пф, (ф) = (0,333 sin ф + 0,289 cos ф) Р

я 2я

<Ф<-;

- <:ф <я;

(5.50)

О < ф <:

< ф <

ф <: Я,

(5.51)

Сравнивая выражения (5.50) и (5.51) с выражениями (5.47) и (5.48), видим, что для любого сечения кольца справедливо равенство N = М/г и, таким образом, зпюра N получается из эпюры М делением на радиус кольца. Абсолютная величина продольной силы максимальна в сечении А кольца, где она является сжимающей и имеет значение

-9,57

0,289Р.

(5.52)

Максимальное нормальное напряжение сжатия возникает в точке А на внутренней поверхности кольца

(5.53)

Пример числового расчета и сравнение с результатами экспериментального исследования. Проведем расчет упругого кольца, экспериментальное исследование которого описано в работе [47].

Данные для расчета: г = 12 см; /i = 1,5 см; = 4 см; а = = 20".

По формуле (5.45) находим:

жесткость упругого кольца при отсутствии зазоров

Cl = 1,53-10 кгс/см;

жесткость упругого кольца после образования зазора под верхним внешним выступом

Cl = 1,49-10* кгс/см;

жесткость упругого кольца после образовйия зазоров под верхними внутренними выступами

1 = 1,18-10 кгс/см. 16* 243