Промышленный лизинг
Методички
Искомая толщина масляного слоя получается в результате суммирования выражений (1.57) и (1.58) и с учетом (1.56) принимает следующий вид: h = ho + + /1, где обозначено б е cos 0; -еб/(е, 0; / (0» О - У, - Sin \k (0 - соО + ct]. (1.59) (1.60) (1.61) (1.62) Вектор скорости и точки М на поверхности цапфы, совершающей плоское движение, складывается из вектора скорости Uq центра цапфы Oj и вектора скорости Ui точки М во вращательном движении ее вокруг полюса или и = Uq + и Проекции вектора и о на оси хну составляют: = I cos (х, I) +1] cos {х, Ti) = - I cos 0 - г sin 0; cos (у, l)-j-y] cos (у, т]) = I sin 0 - т] cos 0 = (1.63) Вектор ui имеет модуль = wr (х, t) и направлен по касательной к окружности радиуса Го, проведенной из смещенного положения центра шипа Oj. Угол v между вектором Ui и осью х мал и составляет (/io + /i,)= sin0 COS0 Sin 9 поэтому с точностью до малых величин порядка blR проекции вектора Ui на оси х я у определяются выражениями: = Wicos V cor (х, t)\ иУ = sin V cor (X, t) ~ (ho + hj, (1.64) где г (Ху t) определяется по формуле (1.54) при ф = {xIR) - (ut. Из выражений (1.63) и (1.64) получаем искомые величины: Щх cor {х, 0; Оу Uly сог (х, t) (Но + hj (1.65) Вывод уравнения для динамических нагрузок. Независимость давления от координаты у позволяет проинтегрировать первое и третье уравнения (1.52): = jxy + /i(x, 2, t)y + h{x, г, 0; дх др дг 2 (1.66) Используя граничные условия (1.53) и (1.65), из выражений (1.66) находим; Уравнение неразрывности запишем в интегральной форме 1 др Г dv с dvz ~дГ dy = 0. (1.68) Учитывая равенства Vxdy г dvx 1 dh dy-i-u - Г dun J h f J Г J -dy = Vy\,=Uy\ ~]vdy -dy. уравнению (1.68) придадим следующий вид: дх . -Ох dy dy - cor (Х, t) = 0. . (1.69) Подставив (1.67) в (1.69) и проинтегрировав, получим дифференциальное уравнение относительно полного гидродинамического давления в масляном слое вида: др дг 6f0D-(/zr) 12fxcor дНг дх (1.70) Уравнение (1.70) представляет собой уравнение Рейнольдса для случая подшипника с некруглой цапфой. При = О оно совпадает с известным уравнением для случая круглой цапфы [791. Давление р представим в виде суммы р Ро + Р=. где Ро - стационарное давление при h h = 0; р-нйтельное давление, вызванное перемещениями центра цапфы при = 0; pg - дополнительное давление, вызванное некруг-лостью цапфы. Считая параметр е малым, разложим давление pg в ряд по степеням 8. Ограничившись первым приближением, получим: ре = = epi. Полное давление при этом примет вид: Ре» допол- spi. (1.71) 29 Проекции дополнительной силы Р, действующей со стороны масляного слоя на цапфу вследствие ее некруглости, на оси g и г\ равны: 1x2 . I х2 где х piSmQ dx dz; P. pxQsQdxdz, (1.72) координаты начала и конца смазочного слоя. Из всех существующих гипотез о границах масляного слоя для полного подшипника примем следующую: Xi = 0; Х2 = nR, (1.73) Введем безразмерные величины: р = pxpViix(i>); Р = PIQ; х = x/R = 0; г - г/1; а = (W; = h/6; Г- т;У] Ф; = 8/R; (1.74) X = /б; S = Q}p/{lD\i(i)); X = (ot. Выражения (1.72) с учетом (1.73) и (1.74) принимают вид: 1 я 1 я Р = Pi sinx dx dz; P; = - p[ cos x dx dz\ (1.75) В дальнейшем штрихи в обозначениях безразмерных величин для простоты записи опускаются. Подставим в уравнение (1.70) вместо h значение из (1.59), а вместо р величину из (1.71). Перейдя к безразмерным величинам (1.74) и учтя предположение о малости перемещений, получим три дифференциальных уравнения, являющихся исходными для определения р, р и pi. Уравнение для определения стационарного давления pQ имеет вид: дро дх dz dz dhp дх Это уравнение в литературе хорошо известно и исследовано. Из него, в частности, получаются все статические характеристики подшипников .скольжения [62, 83J. Уравнение для определения дополнительного давления р, возникающего вследствие малых перемещений центра шипа, имеет вид: - За ho (Isinx ~ т] cos х) hi (l sin jc - T] cos x) - 6 (g cos X "j- T] sinx) 12 (ё sinjc -Ticos x). Данное уравнение является исходным для вычисления динамических характеристик подшипников скольжения, т. е. упругих и демпфирующих свойств масляной пленки. Оно было впервые получено и исследовано Э. Л. Позняком в работе [83]. Уравнение для определения дополнительного безразмерного давления pi, обусловленного малой некруглостью цапфы, получается из (1.70) путем группирования членов, содержащих параметр 8, и имеет следующий вид: (х, Z, = д dz Kfix, т) 1 + X COS (1.77) , ,(1-78) Граничные условия: = О при х = О, х ~ я, z = О, z = 1. (1.79) Входящая в правую часть уравнения (1.76) функция / (х, т) описывает характер некруглости цапфы. В общем случае она представляет собой полигармонический ряд (1.62). Линейность уравнения (1.76) позволяет использовать принцип суперпозиции и производить расчеты отдельно для каждой гармоники с номером k. Функция / (х, т) при этом будет иметь вид: Д(х, т) = sin Ikx- (kx-af)] {k = 2, 3, . . ., m). (1.80) В качестве po{x, z) возьмем функцию распределения стационарного давления следующего вида [85, 61]: LQ 9 Q1 л/1 /П 121 • \-)
с учетом (1.80) и (1.81) выражение (1.77) имеет вид \hi {х, Z, т) = ссоз (kx - а,) + dism (kx - а). (1.82) 6k cos kx + b(z- Z) (fecosfa[3x + (2 + x)cosx] 1 1 + X os X 2ab (2 "j- X cos x) sin x sin kx; - 6k sin kx+b{z- Z-) ffesinfeA;[3x + (2 + X)cosA;] M I + X cos л: 2 (x - 1) sin л: cos л: ] 2 (x - 1) sin X sin kx (1 +XC0SX)2 J (1 + X cosa:)2 2ab (2 -f X cos x) sin x cos kx; 90x ( + X)[l +(2.43-2,31x) {PHYY Таким образом, Динамические нагрузки на подшипник определяются по выражениям (1.75). Входящее в них давление pi находится из уравнения (1.76) с правой частью (1.82) при граничных условиях (1.79). Расчет нагрузок и анализ результатов. Краевую задачу (1.76)- (1.79) решаем по методу Б. Г. Галеркина. В соответствии с ним п-е приближение решения ищем в виде [131: р,п{х, г, т) = S ЧМфЛ» 2) (1.83) где \ (т) - искомые функции времени; Ф1, <Р2. • • •» <P« - первые п координатных функций последовательности {ф (х, г), удовлетворяющих граничным условиям (1.79)., Функции (т) определяются как решение системы уравнений в, (qly 2,...,«), (1.84) (1-85) дх 1 п \h (х, г, т) фо dx dz. (1.86) Выбор координатных фуйкций произведем из последовательности функций, образующих двойной ряд Фурье, которая после подчинения граничным условиям (1.79) имеет вид sin ixsin / Я2 (i / = 1, 2, 3, . . ). Подстановка данных функций вместо р- в (1.75) и последующее интегрирование показывают, что в последовательности используются только члены с индексами г= 1, 2, 4 6 . . / = 1, 3, 5, ... Ограничившись членами с первыми двумя из перечисленных индексов, получим: Ф1 = sin X sin nz\ ф2 = sin 2х sin nz\ 1 Фз = sin X sin Зяг; Ф4 = sin 2jc sin Зяг. j (1.87) Подставив (1.87) в (1.85) и произведя интегрирование, получим: Л12 ~ А21 " Те" (4 -f 9х) (2 + 3f) "Те" (4 + 3f) 2 8 -=f(3 + f) + ?J(6 + f) (4 + 9f) (4 + Зх) (1.88) Л4--(2 + Зх) (+-f) 34 - 43 (3 + Х) Эая5 (6 + t) -<4]з - i4i4 -- Aoi - А Коэффициенты зависят от номера гармоники k функции (1.80). Вычисления коэффициентов В, так же как функций и проекций нагрузок Р и Р, проводились численными методами на ЭВМ. При этом выражения для проекций нагрузок могут быть представлены в виде: Mift COS (т - а) е [Mk COS {kx - iVibSin (т - at.)]; iV2ftSin [kx - a], J где (i = 1, 2; = 2, 3, ... ., m) - некоторые коэффи- циенты, зависящие от параметров х» IDy k. Выражение (1.89) определяет изменение вектора динамической нагрузки по эллипсу с частотой k(o и начальной фазой а. При полигармоническом характере некруглости цапфы (1.62), как было показано выше, нагрузка Р будет также полигармонй-ческой. Здесь следует подчеркнуть, что вследствие отсутствия первой гармоники в разложении (1.49), некруглость цапфы не может быть причиной динамических нагрузок и вибраций подшипников с частотой вращения со. Для количественной оценки вычислялись величины большой {Рк)тах И малой {Pk)min полуосей эллипса k-ii гармоники, а также ориентация этих осей. Все приведенные ниже результаты расчетов получены для полных подшипников с относительной длиной 1/D = 0,5; 1,0; 2,0; оо. Рассматривался один элементарный вид некруглости цапфы - овальность {k = 2), представляющий наибольший практический интерес. Значения коэффициента нагруженности , входящего в формулу (1.75), заимствованы из работы [62] и приведены на рис. 1.15. На рис. 1.16 построены зависимости большой полуоси эллипса динамической нагрузки Рщх» отнесенной к статической нагрузке Q и параметру некруглости цапфы е, от относительной длины IID и эксцентриситета х- Для некоторых точек кривых построены эллипсы нагрузок с соблюдением соотношений между полуосями и с соответствующей ориентацией осей. Наряду с расчетами нагрузок производилась оценка сходимости решения (1.89) путем сравнения относительной погрешности решения в зависимости от числа членов в последовательности координатных функций (1.87). Вычисления показали, что относительная разница между четвертым (п = 4) и вторым [п = 2) приближениями не превышает 2% во всем диапазоне изменения параметров задачи. 3 А. С. Кельзон и др. 0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 |