Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

Искомая толщина масляного слоя получается в результате суммирования выражений (1.57) и (1.58) и с учетом (1.56) принимает следующий вид:

h = ho + + /1,

где обозначено

б е cos 0;

-еб/(е, 0;

/ (0» О - У, - Sin \k (0 - соО + ct].

(1.59) (1.60)

(1.61)

(1.62)

Вектор скорости и точки М на поверхности цапфы, совершающей плоское движение, складывается из вектора скорости Uq центра цапфы Oj и вектора скорости Ui точки М во вращательном движении ее вокруг полюса или и = Uq + и

Проекции вектора и о на оси хну составляют:

= I cos (х, I) +1] cos {х, Ti) = - I cos 0 - г sin 0;

cos (у, l)-j-y] cos (у, т]) = I sin 0 - т] cos 0 =

(1.63)

Вектор ui имеет модуль = wr (х, t) и направлен по касательной к окружности радиуса Го, проведенной из смещенного положения центра шипа Oj. Угол v между вектором Ui и осью х мал и составляет

(/io + /i,)=

sin0

COS0

Sin 9

поэтому с точностью до малых величин порядка blR проекции вектора Ui на оси х я у определяются выражениями:

= Wicos V cor (х, t)\ иУ = sin V cor (X, t) ~ (ho + hj, (1.64)

где г (Ху t) определяется по формуле (1.54) при ф = {xIR) - (ut.

Из выражений (1.63) и (1.64) получаем искомые величины:

Щх cor {х, 0;

Оу

Uly сог (х, t) (Но + hj

(1.65)

Вывод уравнения для динамических нагрузок. Независимость давления от координаты у позволяет проинтегрировать первое и третье уравнения (1.52):

= jxy + /i(x, 2, t)y + h{x, г, 0;

дх др

дг 2

(1.66)

Используя граничные условия (1.53) и (1.65), из выражений (1.66) находим;

Уравнение неразрывности запишем в интегральной форме

1 др

Г dv

с dvz ~дГ

dy = 0.

(1.68)

Учитывая равенства

Vxdy

г dvx 1 dh

dy-i-u -

Г dun J h f J Г J

-dy = Vy\,=Uy\ ~]vdy -dy.

уравнению (1.68) придадим следующий вид:

дх .

-Ох dy

dy - cor (Х, t)

= 0. . (1.69)

Подставив (1.67) в (1.69) и проинтегрировав, получим дифференциальное уравнение относительно полного гидродинамического давления в масляном слое вида:

др дг

6f0D-(/zr)

12fxcor

дНг дх

(1.70)

Уравнение (1.70) представляет собой уравнение Рейнольдса для случая подшипника с некруглой цапфой. При = О оно совпадает с известным уравнением для случая круглой цапфы [791.

Давление р представим в виде суммы р Ро + Р=. где Ро - стационарное давление при h h = 0; р-нйтельное давление, вызванное перемещениями центра цапфы при = 0; pg - дополнительное давление, вызванное некруг-лостью цапфы.

Считая параметр е малым, разложим давление pg в ряд по степеням 8. Ограничившись первым приближением, получим: ре = = epi. Полное давление при этом примет вид:

Ре»

допол-

spi.

(1.71) 29



Проекции дополнительной силы Р, действующей со стороны масляного слоя на цапфу вследствие ее некруглости, на оси g и г\ равны:

1x2 . I х2

где х

piSmQ dx dz; P.

pxQsQdxdz, (1.72)

координаты начала и конца смазочного слоя.

Из всех существующих гипотез о границах масляного слоя для полного подшипника примем следующую:

Xi = 0; Х2 = nR, (1.73)

Введем безразмерные величины:

р = pxpViix(i>); Р = PIQ; х = x/R = 0; г - г/1; а = (W; = h/6; Г- т;У] Ф; = 8/R; (1.74) X = /б; S = Q}p/{lD\i(i)); X = (ot. Выражения (1.72) с учетом (1.73) и (1.74) принимают вид:

1 я 1 я

Р = Pi sinx dx dz; P; = - p[ cos x dx dz\ (1.75)

В дальнейшем штрихи в обозначениях безразмерных величин для простоты записи опускаются.

Подставим в уравнение (1.70) вместо h значение из (1.59), а вместо р величину из (1.71). Перейдя к безразмерным величинам (1.74) и учтя предположение о малости перемещений, получим три дифференциальных уравнения, являющихся исходными для определения р, р и pi.

Уравнение для определения стационарного давления pQ имеет вид:

дро дх

dz dz

dhp дх

Это уравнение в литературе хорошо известно и исследовано. Из него, в частности, получаются все статические характеристики подшипников .скольжения [62, 83J.

Уравнение для определения дополнительного давления р, возникающего вследствие малых перемещений центра шипа, имеет вид:

- За

ho (Isinx ~ т] cos х)

hi (l sin jc - T] cos x) - 6 (g cos X "j- T] sinx)

12 (ё sinjc -Ticos x).

Данное уравнение является исходным для вычисления динамических характеристик подшипников скольжения, т. е. упругих

и демпфирующих свойств масляной пленки. Оно было впервые получено и исследовано Э. Л. Позняком в работе [83].

Уравнение для определения дополнительного безразмерного давления pi, обусловленного малой некруглостью цапфы, получается из (1.70) путем группирования членов, содержащих параметр 8, и имеет следующий вид:

(х, Z, =

д dz

Kfix, т) 1 + X COS

(1.77)

, ,(1-78)

Граничные условия: = О при х = О, х ~ я, z = О, z = 1.

(1.79)

Входящая в правую часть уравнения (1.76) функция / (х, т) описывает характер некруглости цапфы. В общем случае она представляет собой полигармонический ряд (1.62). Линейность уравнения (1.76) позволяет использовать принцип суперпозиции и производить расчеты отдельно для каждой гармоники с номером k. Функция / (х, т) при этом будет иметь вид:

Д(х, т) = sin Ikx- (kx-af)] {k = 2, 3, . . ., m). (1.80)

В качестве po{x, z) возьмем функцию распределения стационарного давления следующего вида [85, 61]:

LQ 9 Q1 л/1 /П 121 • \-)

6х sin X (2

- XCOS х)

(2 +Х)(1

cos х)2

с учетом (1.80) и (1.81) выражение (1.77) имеет вид \hi {х, Z, т) = ссоз (kx - а,) + dism (kx - а).

(1.82)

6k cos kx + b(z- Z) (fecosfa[3x + (2 + x)cosx] 1 1 + X os X

2ab (2 "j- X cos x) sin x sin kx;

- 6k sin kx+b{z- Z-) ffesinfeA;[3x + (2 + X)cosA;] M I + X cos л:

2 (x - 1) sin л: cos л: ]

2 (x - 1) sin X sin kx (1 +XC0SX)2 J

(1 + X cosa:)2

2ab (2 -f X cos x) sin x cos kx; 90x

( + X)[l +(2.43-2,31x) {PHYY



Таким образом, Динамические нагрузки на подшипник определяются по выражениям (1.75). Входящее в них давление pi находится из уравнения (1.76) с правой частью (1.82) при граничных условиях (1.79).

Расчет нагрузок и анализ результатов. Краевую задачу (1.76)- (1.79) решаем по методу Б. Г. Галеркина. В соответствии с ним п-е приближение решения ищем в виде [131:

р,п{х, г, т) = S ЧМфЛ» 2)

(1.83)

где \ (т) - искомые функции времени; Ф1, <Р2. • • •» <P« - первые п координатных функций последовательности {ф (х, г), удовлетворяющих граничным условиям (1.79).,

Функции (т) определяются как решение системы уравнений

в, (qly 2,...,«),

(1.84)

(1-85)

дх 1 п

\h (х, г, т) фо dx dz.

(1.86)

Выбор координатных фуйкций произведем из последовательности функций, образующих двойной ряд Фурье, которая после подчинения граничным условиям (1.79) имеет вид sin ixsin / Я2 (i / = 1, 2, 3, . . ). Подстановка данных функций вместо р- в (1.75) и последующее интегрирование показывают, что в последовательности используются только члены с индексами г= 1, 2, 4 6 . . / = 1, 3, 5, ... Ограничившись членами с первыми двумя из перечисленных индексов, получим:

Ф1 = sin X sin nz\ ф2 = sin 2х sin nz\ 1

Фз = sin X sin Зяг; Ф4 = sin 2jc sin Зяг. j

(1.87)

Подставив (1.87) в (1.85) и произведя интегрирование, получим:

Л12 ~ А21 "

Те"

(4 -f 9х) (2 + 3f)

"Те"

(4 + 3f)

2 8 -=f(3 + f) + ?J(6 + f)

(4 + 9f)

(4 + Зх)

(1.88)

Л4--(2 + Зх) (+-f)

34 - 43

(3 + Х)

Эая5

(6 + t)

-<4]з - i4i4 -- Aoi - А

Коэффициенты зависят от номера гармоники k функции (1.80). Вычисления коэффициентов В, так же как функций и проекций нагрузок Р и Р, проводились численными методами на ЭВМ. При этом выражения для проекций нагрузок могут быть представлены в виде:

Mift COS (т - а) е [Mk COS {kx -

iVibSin (т - at.)]; iV2ftSin [kx - a], J

где (i = 1, 2; = 2, 3, ... ., m) - некоторые коэффи-

циенты, зависящие от параметров х» IDy k.

Выражение (1.89) определяет изменение вектора динамической нагрузки по эллипсу с частотой k(o и начальной фазой а. При полигармоническом характере некруглости цапфы (1.62), как было показано выше, нагрузка Р будет также полигармонй-ческой. Здесь следует подчеркнуть, что вследствие отсутствия первой гармоники в разложении (1.49), некруглость цапфы не может быть причиной динамических нагрузок и вибраций подшипников с частотой вращения со.

Для количественной оценки вычислялись величины большой {Рк)тах И малой {Pk)min полуосей эллипса k-ii гармоники, а также ориентация этих осей.

Все приведенные ниже результаты расчетов получены для полных подшипников с относительной длиной 1/D = 0,5; 1,0; 2,0; оо.

Рассматривался один элементарный вид некруглости цапфы - овальность {k = 2), представляющий наибольший практический интерес.

Значения коэффициента нагруженности , входящего в формулу (1.75), заимствованы из работы [62] и приведены на рис. 1.15.

На рис. 1.16 построены зависимости большой полуоси эллипса динамической нагрузки Рщх» отнесенной к статической нагрузке Q и параметру некруглости цапфы е, от относительной длины IID и эксцентриситета х- Для некоторых точек кривых построены эллипсы нагрузок с соблюдением соотношений между полуосями и с соответствующей ориентацией осей.

Наряду с расчетами нагрузок производилась оценка сходимости решения (1.89) путем сравнения относительной погрешности решения в зависимости от числа членов в последовательности координатных функций (1.87). Вычисления показали, что относительная разница между четвертым (п = 4) и вторым [п = 2) приближениями не превышает 2% во всем диапазоне изменения параметров задачи.

3 А. С. Кельзон и др.



0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47