§ 1.2. Сравнение экспериментального, теоретического и вычислительного подходов

В предыдущем параграфе уже отмечалось, что для решения задач гидродинамики и теплообмена используются три различных подхода: 1) экспериментальный, 2) теоретический, 3) численный (вычислительная гидромеханика). Теоретический подход часто называют аналитическим термины же численный и вычислительный взаимозаменяемы. Для иллюстрации применения этих трех подходов к решению задач гидромеханики рассмотрим классическую задачу определения распределения давления по передней поверхности кругового цилиндра, обтекаемого равномерным потоком, при числе Маха Мс», равном четырем, и числе Рейнольдса (определенном по диаметру цилиндра), равном 5-106.

Если используется экспериментальный подход, то сначала надо спроектировать и изготовить модель кругового цилиндра. В этой модели должна быть предусмотрена возможность измерения давления на стенке, а также возможность установки ее в аэродинамической трубе. Аэродинамическая труба должна позволять получать в рабочей части необходимые для моделирования набегающего потока параметры. Создать в аэродинамической трубе необходимые условия часто довольно трудно, особенно при испытании уменьшенных моделей больших самолетов и космических аппаратов. После того как модель изготовлена, а аэродинамическая труба выбрана, можно приступать непосредственно к экспериментальному исследованию. Так как при работе аэродинамической трубы потребляется большое количество энергии, то время проведения эксперимента должно быть сведено к минимуму. Эффективное использование времени работы аэродинамической трубы стало особенно важным в последнее время в связи с ростом стоимости энергии. После проведения экспериментов необходимо по известным коэффициентам провести коррекцию измеренных значений для окончательного определения распределения давления на стенке. Экспериментальный подход позволяет найти наиболее близкие к действительности решения многих гидромеханических задач, однако его стоимость растет с каждым днем.

При использовании теоретического подхода делаются некоторые упрощающие предположения, что и позволяет найти решение задачи по возможности в замкнутом виде. В рассматриваемой нами задаче полезной аппроксимацией является теория Ньютона (см. [Hayes, Probstein, 1966]) для совершенного газа. Согласно теории Ньютона, ударный слой (область между телом и ударной волной) полагается бесконечно тонким, .поэтому

головная ударная волна прилегает непосредственно к поверхности тела (рис. 1.2(a)).Следовательно, в этом случае нормальная к поверхности тела скорость потока за ударной волной равна нулю, так как газ сразу «ударяется» о поверхность тела. Закон сохранения импульса в направлении, нормальном к ударной волне (см. гл. 5), можно записать в виде

P, + P,u1 = p, + p,ul (1.1)

где р -давление, р -плотность, w -нормальная составляющая скорости, а индексами 1 и 2 обозначены значения параметров

v„sin<r

гплавная ударная волна

Рис. 1.2. Теоретический подход, (а) Теория Ньютона; (Ь) геометрические параметры для расчета ударной волны.

непосредственно перед и за скачком соответственно. Для рассматриваемой задачи (рис. 1.2(b)) уравнение (1.1) примет вид

Poo + 9ooVlsma = p + p (1.2)

давление на стенке pw равно

Для совершенного газа скорость звука в набегающем потоке определяется соотношением

«00 = VyPoo/Pco. (1-4)

L2yM~(Y-1)J

(1.10)

которая получена в предположении, что между ударной волной и поверхностью тела происходит изэнтропическое сжатие вдоль критической линии тока. Совместное использование соотношений (1.9) и (1.10) называют модифицированной теорией Ньютона, Предсказываемое этой теорией распределение давления сопоставлено на рис. 1.3 с полученным при экспериментальном подходе [Beckwith, Gallagher, 1961]. Отметим, что рассчитанные и измеренные значения удовлетворительно согласуются между собой вплоть до углов 9 = ±35°. Большим преимуществом теоретического подхода является то, что с его помощью можно получить «чистую» и довольно обширную информацию, причем во многих случаях на основе довольно простых формул. Этот подход особенно полезен на этапе предварительного проектирования, так как он позволяет за минимальное время получить разумные ответы на возникающие вопросы.

При использовании численного подхода делается ограниченное количество предположений, а получающаяся в результате система уравнений газовой динамики решается численно на быстродействующей ЭВМ. ]ХЯя рассматриваемого течения (рис. 1.2) при больших числах Рейнольдса можно ограничиться

где у = Cp/Cv - отношение теплоемкостей. Используя определение числа Маха

Моо = Коо/а«, (1.5)

и тригонометрическое тождество (см. рис. 1.2(b))

cos 9= sin а, (1.6) получим из уравнений (1.1) -(1.3)

P«, = Poo(l+YMicos2e). (1.7)

В критической точке 9 = 0° и давление на стенке равно

P. = P=o(I + YMi). (1.8)

Подставляя выражение для давления в критической точке в (1.7), окончательно получаем

Pw = Роо + {Ps - Poo) cos2 е. (1.9)

Точность использованного теоретического подхода можно существенно улучшить, если вместо соотношения (1.8) для определения давления в критической точке ps воспользоваться формулой Рэлея для насадка полного давления [Shapiro, 1953]

V + 1