Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

В общем случае наклон характеристик уже не постоянный, а меняется в соответствии с изменением свойств жидкости. Входящие в систему уравнения могут быть неоднородными. Ясно, что в этом случае уравнения совместности уже невозможно проинтегрировать в аналитическом виде вдоль характеристик. В общем случае нелинейной задачи как уравнения совместности, так и уравнения характеристик приходится решать численно, чтобы получить полную картину течения. При этом неизвестны не только параметры потока, но также и положения характеристик должны определяться путем численного решения.

Чтобы показать различия в применении метода характеристик в случае линейной и нелинейной задач, рассмотрим двумерное сверхзвуковое течение совершенного газа на плоской пластине. Для простоты выберем прямоугольную систему координат и запишем уравнения Эйлера в матричной форме (см. гл. 5)

LP J

(6.18)

uv 0

-pva -pv

-a" («2-a2)

Начальные условия I заданы и записываются в виде w(0, у) = 1(у), 0<t/<A.

Граничные условия для нашей задачи имеют вид

v (л:, 0) = О, и (л:. Л) = и, v (л:. Л) = v,

Собственные значения матрицы [А] определяют характеристические направления и должны быть найдены в первую



uv + a л/и + у-а

UV - а/и +

11 -

(6.19а)

Выпишем матрицу, составленную из левых собственных векторов, отвечающих данным собственным значениям

[TV =

рм ра

ру ру

V V« + t>2 - и 1

роа 1

(6.19Ь)

Умножая исходную систему (6.18) на [Г]- получаем соотношения совместности. Эти соотношения задаются в виде

du , dv , dp

вдоль dy/dx - Яз и

du dv . dp

(6.20) (6.21)

вдоль dy/dx = %4. В этих выражениях

Уравнение (6.20) является обыкновенным дифференциальным уравнением, которое удовлетворяется вдоль характеристики с наклоном 1з. Длина дуги вдоль этой характеристики обозначена через 5з. Смысл выражения (6.21) аналогичен. В противоположность рассмотренному ранее примеру решения линейного уравнения Прандтля - Глауэрта аналитическое решение для характеристик в общем случае нелинейной задачи неизвестно. Ясно, что мы должны определять форму характеристик путем пошагового численного интегрирования. Рассмотрим характеристику, определяемую Хз:

dy -uv + а/и + v -

dx и -

Начиная с поверхности, на которой заданы начальные условия, это выражение можно проинтегрировать и получить последую-

очередь. Находим



щую точку на кривой. Одновременно с этим можно проинтегрировать дифференциальное уравнение, определяющее другую характеристику волнового фронта. Интегрируя простое дифференциальное уравнение первого порядка, получаем два уравнения для определения волнового фронта характеристик. По ним находят координаты точки их пересечения (точка А на рис. 6.5). Зная положение точки Л, интегрируем уравнения совместности (6.20) и (6.21) вдоль характеристик, проходящих через эту точку. Это дает систему уравнений для неизвестных в точке А. Безусловно, требуются дополнительные соотношения для замыкания задачи, которые можно получить, интегрируя уравнения


Рис. 6.5. Характеристики в точке, где определяется решение.

совместности вдоль линий тока или используя другие уравнения, связывающие неизвестные в точке А.

Применяя эту процедуру, можно в первом приближении определить положение точки А и параметры потока в ней. Эта оценка обычно используется на первом шаге схемы предиктор-корректор при решении системы гиперболических уравнений в частных производных методом характеристик. На шаге корректор новое положение точки В пересечения характеристик можно рассчитать уже с учетом нелинейной природы характеристических кривых. Аналогично рассчитываются значения зависимых переменных в точке В,

Нахождение решения в точке В представляет собой интересную задачу. Поскольку задача нелинейная, окончательное положение точки пересечения В вовсе необязательно имеет одну и ту же координату х для всех точек решения. Поэтому решение обычно интерполируется на поверхность х = const, прежде чем переходят к следующему шагу интегрирования. Это ведет к усложнению логики при кодировании программы вычислений.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124