Проблемы интегрирования уравнений совместности и постановки граничных условий как на проницаемых, так и на непроницаемых поверхностях будут обсуждаться в следующем параграфе. Следует отчетливо представлять, что граничное условие типа стенки является итеративным в том смысле, что мы пытаемся удовлетворить конкретному граничному условию в точке на поверхности, координата х которой нам изначально неизвестна.

Рассмотренную в этом разделе задачу в настоящее время можно решать при помощи характеристик гораздо более простым методом (см. § 6.4). Основной причиной вышеприведенного обсуждения было показать идеи, лежащие в основе численных расчетов уравнений движения с использованием методов характеристик, и присущие этим методам трудности. Имеется обширная библиография ([Owczarek, 1964; Shapiro, 1953; Cou-rant, Friedrichs, 1948]), в которой метод характеристик описан более подробно.

§ 6.3. Методы сквозного счета

Методы сквозного счета широко применяются для расчета течений невязкого газа с ударными волнами. В этом случае уравнения Эйлера записываются в дивергентной форме и для расчета скачков уплотнения или любых других разрывов не принимается никаких специальных мер, они получаются как часть решения всей задачи. Рассчитанные этими методами скачки «размазываются» на несколько ячеек сетки, но простота этого подхода может оказаться решающим фактором при сравнении со схемами с выделением скачков, несмотря на то что последние дают несколько более точные результаты.

При расчетах течений методами сквозного счета часто пользуются выделением скачка на границе. Поскольку на границах скачки могут быть выделены по любой из обычных схем, обсуждаемых в настоящем параграфе и в § 6.4, то на самом деле преимущество схем сквозного счета становится еще более ощутимым, когда имеется сложная структура* скачков. В этом случае удается уловить структуру скачков и отпадает необходимость в специальной обработке каждого скачка.

Лаке [Lax, 1954] показал, что скорость и интенсивность скачка рассчитываются верно, если уравнения Эйлера записаны в дивергентной форме. Это означает, что физически корректное слабое решение, соответствующее соотношениям Гюгонио - Рэн-кина на скачках, получается в случае, когда используется дивергентная форма записи уравнений Эйлера и последние дискре-тизируются консервативным образом. В § 6.4 мы получим ела-

бое решение уравнений Эйлера, используя их недивергентную форму записи, и покажем, что в этом случае разрыв решения с физической точки зрения уже не интерпретируется как ударная волна. Таким образом, вид получаемого решения зависит от формы представления решаемых уравнений.

Дивергентную форму записи проиллюстрируем на примере сверхзвукового обтекания совершенным газом некоторой двумерной поверхности. Если считать, что ось х совпадает с поверхностью тела и эта координата является маршевой, то уравнения, описывающие это течение, являются двумерной версией уравнений (5.192) и их можно записать в виде

-(р + Р«)+-(рис) = 0, (р«.)+(р + р.) = 0.

(6.22) (6.23) (6.24)

Для стационарного изоэнергетического течения полная энтальпия сохраняется вдоль линий тока. В этом случае уравнение энергии не интегрируется, а используется аналитическая интегральная форма

Я = i- = const. (6.25)

Уравнения (6.22), (6.24) при постоянной полной энтальпии образуют в случае сверхзвукового течения гиперболическую систему. Ее можно решать маршевым методом по координате х, т. е. последовательно интегрируя уравнения вдоль направления X, начиная с поверхности задания начальных данных. Геометрия такой задачи показана на рис. 6.6. Начальные данные задаются на линии л: = О и решение находится шаг за шагом при продвижении по координате х с учетом граничных условий на

поверхности тела и соответствующих условий при f/max.

Уравнения (6.22) - (6.24) можно записать в виде

дх ~ ду

(6.26)

уравнение (6.26) можно решать любым методом, пригодным для гиперболических уравнений в частных производных из числа

Представленных в гл. 4. Схема Мак-Кормака будет хорошим выбором. Вариант схемы Мак-Кормака с разностями вперед на шаге предиктор и с разностями назад на шаге корректор в применении к уравнению (6.26) может быть записан в виде

Е/г+1 wj/t Ал: (п Yn\

Е/г+1 1

Е"- L С" + 1 /prt+l

(6.27)

По завершению шагов предиктор и корректор от вектора Е следует перейти к примитивным переменным р, р, и, v. Только после

Поверхность задании начальных, данных

Маршевое направление

Поверхность тела Рис. 6.6. Система координат для маршевой задачи.

ЭТОГО можно составить новый вектор потока для следующего шага интегрирования. После получения решения на каждом шаге по маршевой координате сразу находим компоненту у скорости: v = Es/Eu где нижние индексы обозначают элементы вектора Е. Для отыскания компоненты х скорости необходимо решить квадратное уравнение. Для исключения р можно скомбинировать Е2 с уравнением энергии; тогда имеем

и + [(у-\)/2у](2И-u-v) Исключим р, используя равенство

p = EJu. (6.28)

Это приводит к квадратному уравнению для и с корнями

и =

1 El