Обычно радикал следует брать со знаком плюс. Плотность теперь рассчитывается через Ei по формуле (6.28), а давление выражается через Е2 в виде

р = Е2-ри. (6.30)

Проделав эти вычисления, можно вычислить новое значение F и перейти к следующему шагу интегрирования.

Пример 6.2. Рассчитайте обтекание двумерного клина (полуугол при вершине равен IS""), движущегося со скоростью М = 2. Рассмотрите течение невязкого совершенного газа.

Решение. В задаче требуется определить положение скачка уплотнения и его интенсивность, а также картину течения вблизи клина. Клин и картина его обтекания показаны на рис. 6.7. Обтекание двумерного клина с присоединенной ударной волной является коническим течением. Это значит, что параметры потока вдоль лучей, исходящих из вершины клина, постоянны [Anderson, 1982]. Это существенно облегчает задачу.

Определяющими уравнениями задачи являются уравнения (6.22) -(6.24) и уравнение энер- Рис. 6.7. Обтекание клина с присо-гни (6,25), граничными уело- единенной ударной волной. виями - условие скольжения

на поверхности клина и условия в свободном потоке вне ударной волны. Конечно, можно направить ось х вдоль поверхности клина и интегрировать уравнения шаг за шагом вдоль этой оси до тех пор, пока число Маха в ударном слое остается больше единицы. К сожалению, по мере продвижения вниз по потоку ударный слой утолщается и в конце концов это приводит к взаимодействию внешней границы нашей расчетной области (при у -

= Утгх) с ударной волной.

Эти трудности можно легко преодолеть, если учесть, что ударная волна прямая, а толщина ударного слоя растет линейно с увеличением х. Выполним преобразование переменных

1 = х, ц = у1х. (6.31)

Оно приводит к расчетной сетке, изображенной на рис. 6.8. Теперь задача обтекания клина решается без особого труда, поскольку линии постоянства г\ растут линейно с х. Так как основ-

ныс уравнения являются гиперболическими относительно координаты I, то начальные данные необходимо задавать на некоторой линии, не являющейся характеристической. В качестве последней удобно выбрать линию 1=1. Уравнения в частных производных интегрируются в направлении с произвольно заданными начальными условиями. Так как течение вокруг двумерного клина является коническим, то решение для него будет достигаться при больших (асимптотически).

4 = const

15"

const

Рис. 6.8. Клин с ударным слоем после преобразования.

После преобразования координат от (л:, у) к (g, г\) уравнения принимают вид

(6.32)

л*. - >

01 дг)

где Ё = Е, F = F - т]Е. Можно избежать дополнительных трудностей, если в этой задаче использовать свойства конического течения. Устойчивость схемы, применяемой для решения уравнений (6.32), зависит от собственных значений матрицы [А] расширенной системы, записанной в координатах (, т)):

"+И1 + н = о.

(6.33)

в этом уравнении w есть вектор примитивных переменных, а Н - источниковый член в расширенной системе. Оказывается, что собственные значения [А] явно зависят от , т. е. входит в выражения для собственных значений. Когда при решении задачи мы продвигаемся вниз по потоку вдоль маршевой координаты g, допустимый размер шага должен изменяться, если применяется явная схема, например схема Мак-Кормака. Если при увеличении i этого не происходит, могут возникнуть трудности с устойчивостью разностной схемы. Их можно избежать,

если интегрировать уравнения от = 1 до g = 1 + Д путем итераций до достижения сходимости.

Тщательного рассмотрения требуют граничные условия. Количество точек в направлении ц должно быть достаточным, чтобы ударная волна могла формироваться естественным образом и не взаимодействовала с граничными условиями в свободном потоке, которые ставятся при т] = Лтах. Например, если в нашей задаче ударная волна образует с поверхностью клина угол в 20° и в ударном слое мы размещаем 10 точек, то

shock = (20°) = 0.3640, Ат] = 0.3640/(10 - 1) == 0.0404. Пусть при том же шаге мы добавляем еще пять точек; тогда Лтах = 0.0404 (15 - 1) = 0.5662

и последняя точка сетки видится из вершины клина под углом 29.52°. Это должно гарантировать отсутствие интерференции ударной волны при граничных условиях, задаваемых на ттах.

Если используется схема Мак-Кормака, то шаг предиктор можно делать непосредственно от стенки, так как используются разности вперед. Но шаг корректор должен быть модифицирован. Один из способов удовлетворения условию скольжения вдоль поверхности клина состоит в использовании на шаге корректор также передних разностей и последующей записи значения V на стенке с граничным условием v=0. Несмотря на то что использование разностей- вперед и в предикторе, и в корректоре приводит обычно к неустойчивостям схемы, граничное условие на стенке меняет ситуацию так, что устойчивость решения обеспечивается.

Типичные распределения давления при обтекании клина, полученные методом сквозного счета, изображены на рис. 6.9. Эти результаты отлично согласуются с аналитическим решением при v=1.0, обнаруживая резко выраженную ударную волну, несколько размазанную осцилляциями. Однако результаты тех же расчетов при числе Куранта 0.7 выявляют дисперсионное поведение, присущее схемам второго порядка, которые обсуждались в гл. 4.

Прежде чем мы закончим с задачей обтекания клина, стоит заметить, что ее решение можно было бы получить, считая его зависящим от времени. Записанные в полярной системе координат уравнения, включая зависящие от времени члены, имеют вид