при этом начало системы координат расположено в вершине клина, а векторы записаны в полярных координатах. Если априори предположить, что течение коническое, то можно получить решение в плоскости R = const, исключая из рассмотрения про-

32 28 24 20

- (i h

1:>

±

0.09 ОЛО

0.11

0.12 0.13 0Л4

Рис. 6.9. Распределение давления при обтекании клина, полученное методом сквозного счета; М«» = 2.0, 6w = 7.5 р-- безразмерное давление;-аналитическое решение.

изводные в радиальном направлении. В этом случае приходится решать систему

+ 4г+К = 0- (6-35)

Система является гиперболической относительно времени, и ее можно решать, пока решение не установится по времени, что даст решение задачи стационарного обтекания клина. В некоторых отношениях зависящую от времени систему уравнений решать легче, например ее процедура расчета много проще.

Как и в примере 6.2, уравнения движения обычно преобразуются в вычислительной плоскости. Одно из наиболее часто

Ударная волна

---ri=i

Поверхность задания начальных данных

Маршевое направление

\V\V\VV\\\\\\\\\\\\VVVV\\\\\\\\\\\\\\\\\\\-- Рис. 6.10. Преобразованная область.

Сложностей, возникающих при использовании простой прямоугольной сетки в примере 6.2, можно было бы избежать, если бы ударная волна рассматривалась как разрыв. На самом деле в большинстве методов сквозного счета ударные волны на границах выделяются, а внутренние ударные волны улавливаются по мере их возникновения. В то время как одни и те же соображения лежат в основе методики выделения ударных волн как в стационарных задачах обтекания, решаемых маршевым методом, так и в задачах, зависящих от времени, несколько иная схема иногда применяется для расчета давления внутри области или за ударной волной, когда исходные уравнения записаны в дивергентной форме. Рассмотрим систему уравнений в частных производных, записанную в форме (6.26). Пусть мы используем преобразование

{X. У) -> (L л), I = , Л = У/Уз {X), (6.36)

где у - ys{x) = 0 есть уравнение, задающее поверхность ударной волны. Как показано на рис. 6.10, физическая область преобразуется в вычислительную, в которой ударная волна расположена на поверхности т) = 1.0. Дивергентная форма записи

применяемых, преобразований предложили Вивьян [Viviand, 1974] и Винокур [Vinokur, 1974]. Это преобразование (см. гл. 5) гарантирует, что система уравнений в строго дивергентной форме после замены независимых переменных может быть записана в прежнем виде. К его недостаткам можно отнести тот факт, что в преобразованных уравнениях в форме Вивьяна в знаменателе консервативных членов всегда возникает якобиан преобразования. Чтобы избежать ошибок при геометрических преобразованиях, необходимо принимать специальные меры при вычислении метрических коэффициентов. Это подробно будет обсуждаться в гл. 10.

~« 2 роо V Y - 1 р.

После того как наклон ударной волны рассчитан, в новом положении известны все величины. Эта процедура повторяется на шагах предиктор и корректор. Затем опять выделяем ударную волну, считая давление за ней.(или какую-нибудь другую ве-

уравнений может быть такой, какую предложил Вивьян, или любой другой формой, в которой имеет место сохранение соответствующих потоковых членов. Мы опять пользуемся маршевым методом для отыскания решения во внутренней части ударного слоя. На ударной волне для получения оценки одной из переменных следует применять одностороннее интегрирование. Будем считать, что в начальный момент времени нам известно все вдоль поверхности задания начальных данных, включая наклон ударной волны. Далее мы последовательно получаем решение во внутренней части ударного слоя, включая точки ударной волны, продвигаясь в направлении маршевой координаты. Кроме того, интегрируется уравнение для наклона ударной волны dys/dx, что дает уточненное положение ударной волны. Теперь мы вычисляем наклон ударной волны в ее новом положении, а также другие зависимые переменные, кроме давления.

Если давление за ударной волной известно, легко найти плотность и обе компоненты скорости из соотношений Гюгонио - Рэнкина. Требуется получить выражение для наклона ударной волны. Запишем уравнение поверхности ударной волны

y-i/.W = 0. (6.37)

Тогда уравнение нормали к ней записывается в виде

Нормальная компонента скорости перед ударной волной дается выражением

Откуда для наклона ударной волны получаем

(1,2 2\ У 4.

Величина г/ в (6.40) определяется по перепаду давления на ударной волне, задаваемому уравнением (5.209):

2 Рос /1 . Y+1 Р2