личину) известной. Этот подход предложил Томас и др. [Thomas et al., 1972].

Так как мы рассматриваем методы решения либо зависящих от времени уравнений, либо уравнений для стационарных сверхзвуковых течений невязкого газа, то эти уравнения относятся к типу гиперболических. Обычно гиперболические системы решаются явными методами. Однако величина шага для большинства явных схем ограничена условием Куранта - Фридрихса- Леви. Для некоторых задач это может привести к неразумно большим временам счета. Разработка и применение полностью неявных схем для решения гиперболических уравнений -сравнительно недавнее явление. Более ранние попытки такого рода были частично явными или итерационными. Недавно были разработаны неитеративные алгоритмы ([Lindemuth, ЮИееп, 1973; Briley, McDonald, 1973; Beam, Warming, 1976]). Преимущество неявных схем заключается в их безусловной устойчивости. Хотя по сравнению с явными методами приходится делать больше вычислений на один шаг по времени, полное время счета может оказаться меньшим. Мы опишем в общих чертах основную схему Бима - Уорминга [Beam, Warming, 1976] для уравнений, записанных в дивергентной форме, а затем рассмотрим алгоритм расщепления потоков, предложенный Стегером и Уормингом [Steger, Warming, 1979].

Рассматриваемая система аналогична уравнению (5.192). Для удобства приведем его здесь:

где U -вектор консервативных переменных, а Е и F -вектор-функции от и. Если схема интегрирования задается уравнением (4.58), то значение U на следующем временном слое задается выражением

U- = U"-f[(f+f)"+(E- + fn. (6.43)

Последнее дает второй порядок аппроксимации вектора неизвестных и- на следующем временном слое. Эта схема неявная, поскольку производные U да и сама величина U берутся на следующем временном слое, связывая, таким образом, неизвестные в соседних узлах сетки на следующем временном слое. Для получения линейного уравнения, которое можно разрешить

([/] + -у--ИГ) и= Правая часть уравнения (6.46),

Если использовать дельта-форму, введенную в гл. 4, получается более простой алгоритм. Так как в обеих частях уравнения (6.46) стоят одинаковые операторы, то AIJ = U"+ - отсюда

(fi+т- иг) (т+ [вг) AU"=

- + Г. (6.48)

относительно U+S используется локальное разложение в ряд Тейлора производных F и G. Пусть

Е»+ = Е" + И](0"+-и"),

F"+ = F" + IB](u"+-U"),

где [А] = дЕ/ди, [B] = dF/dV.

После подстановки линеаризации (6.44) в (6.43) для определения 11"+ имеем линейную систему относительно неизвестной

+ + 141) =

= {Il +1 (.ИГ + i } - л/ (i- + f)". (e.45)

Прямого решения уравнения (6.45) стараются избегать из-за большого количества вычислений в случае многомерных задач. В этом случае предпочитают сводить многомерную задачу к последовательности одномерных. Это можно сделать, применяя метод дробных шагов [Yanenko, 1971] или метод приближенной факторизации [Peaceman, Rachford, 1955; Douglas, 1955].

Уравнение (6.45) можно записать в приближенно факторизо-ванном виде

(и + f иг) (и + f 1«1") ""=-- (Il + 1-Г) X

X.([/l+f(Sl)u-4/(+4t).,e.4e)

Это выражение отличается от исходного уравнения (6.45) на член порядка (At), и формально точность нашего неявного алгоритма остается второго порядка. Эта факторизованная схема может быть представлена как последовательность схем по переменным (чередующимся) направлениям

(/l + fHr)AU=-..(i+f)",

(6.49)

Решение этой системы нетривиально. Если пространственные производные аппроксимируются центральными разностями, то на каждом проходе по направлениям х и у требуется решать блочную трехдиагональную систему уравнений. Каждый блок имеет размер тУ,т, где т -размерность неизвестной вектор-функции и (см. приложение В).

Представленный здесь неявный алгоритм использует неявную центрированную по времени схему. Для построения семейства неявных алгоритмов различной точности можно использовать дискретизацию по времени общего вида [Warming, Beam, 1979]. Этот вопрос обсуждается в гл. 8. Там же приводятся дополнительные соображения о необходимости добавления искусственного демпфирования в связи с применением недиссипативных схем.

Стегер и Уорминг [Steger, Warming, 1979] разработали неявный алгоритм, в котором производится расщепление векторов Е и F. Несмотря на то что точное расщепление может быть выполнено несколькими способами, обычно оно проводится в соответствии со знаками собственных значений системы, как это делается, например, в методе расщепления коэффициентов матриц (см. § 6.4). Чтобы показать идею расщепления, рассмотрим одномерную систему гиперболических уравнений в частных производных

dt дх

Эту систему можно переписать в виде

-f+H]f- = 0. (6.50)

где [Л] есть матрица Якоби 5E/(9U. Эта система гиперболическая, если существует преобразование подобия, такое, что

[TV[A\m=[Xl (6.51)

где [к] - диагональная матрица из собственных значений [А], а [Т]- - матрица, строки которой есть левые собственные векторы матрицы [Л], взятые по порядку. Теперь векторы потоков

И ОПЯТЬ это уравнение можно заменить последовательностью более простых уравнений по переменным направлениям