dt дх дх

знак плюс показывает, что должна быть использована разность назад, а знак минус - разность вперед.

Расщепление потоков можно применять как в явных, так п неявных алгоритмах. Например, схему второго порядка с разностями вверх по потоку можно записать [Warming, Beam, 1975] так:

иГ = и?-(УЕГ + ДЕГГ,

,п+1 1

(6.60)

(Е И F В уравнении (6.42)) обладают интересным свойством:

Е = [Л]и. (6.52)

Это можно проверить простым перемножением указанных матриц. Согласно Стегеру и Уормингу, если уравнение состояния имеет форму

P = 9f{e\ (6.53)

где в -внутренняя энергия, то вектор потока E(U) является однородной функцией и первой степени, откуда следует

E(aU) = aE(U) (6.54)

для любого а. Мы можем воспользоваться этим свойством, а также тем фактом, что система гиперболическая для представления потока в расщепленном виде.

Комбинируя (6.51) и (6.52), вектор Е можно записать в виде

Е = [Л] и = [Т] [X] [TV и. (6.55)

Матрица собственных значений разделяется на две; причем одна состоит только из положительных элементов, а другая - только из отрицательных. Запишем

[А] = [АГ + [АГ = [Т] [Х] [Т]- + [Т] [Х-] [ТГ (6.56)

и определим

Е = Е+ + Е", (6.57)

так что

Е+ = [Л]+и, Е"" = [Л]-и. (6.58)

Исходное уравнение в дивергентной форме записывается в обозначениях с расщепленными потоками в виде

+ + = 0. (6.59)

Нетрудно построить неявный центрированный по времени алгоритм с расщеплением потоков на основе

{ и + Wt/l + Д И/]-)} AU? = - [VE- + ДЕ-]".

(6.61)

Он имеет первый порядок точности по пространственной координате и второй по времени. Точность по пространственной координате можно улучшить простым увеличением порядка аппроксимации пространственных дифференциальных операторов. Зачастую интерес представляет только стационарное решение. В этом случае правая часть может быть модифицирована, чтобы получить второй порядок аппроксимации по пространству при выходе на стационарное решение без изменения блочной трехдиагональной структуры левой части.

Интересно отметить, что левую часть уравнения (6.61) можно приближенно представить в виде произведения двух операторов (факторизовать):

([/] + V [л,Г) ([/] + д AU? =

= правая часть уравнения (6.61). (6.62)

Это позволяет реализовать алгоритм в виде следующей последовательности:

([I]-\---V[Af]Al]] = npaBan часть уравнения (6.61),

/ ч , (6.63)

При использовании уравнений (6.63) каждый проход в одномерной задаче требует решения двух блочных двухдиагональных систем. Исходная система (6.61) требует решения одной блочной трехдиагональной системы на каждом шаге по времени. Важно отметить, что более экономичные вычисления, которые, как ожидается, имеют место при использовании уравнений (6.63), можно реализовать не для всех задач. Обычно главное преимущество, связанное с применением расщепленных форм с двух-диагональными системами, проявляется при решении многомерных задач.

Расщепление потоков в методах сквозного счета дает несколько более лучшие результаты, нежели обычные схемы с центральными разностями, но трудности все же остаются и здесь. При использовании расщепления потоков ударные волны хорошо прорабатываются, и результаты, получающиеся при этом, согласуются с теми, которые дают лучшие методы сквозного

счета. Результаты расчета с расщеплением потоков могут оказаться не так хороши, когда встречается звуковая линия. Небольшие осцилляции происходят при пересечении звуковой линии, потому что расщепление зависит от собственных значений. Потоковые члены имеют разрывы первых производных при изменении знака собственных значений. Стегер [Steger, 1981] получил хорошие результаты, когда переопределил собственные значения в виде

. Я±Ур?. (6.64)

где 8 - коэффициент, введенный для обеспечения гладкости, когда X меняет знак.

Наше обсуждение методов сквозного счета было сосредоточено на маршевых задачах как по времени, так и по пространству. Решение маршевых по времени задач может иметь своей целью или определение некоторого переходного процесса, или расчет установившегося течения как асимптотического по времени предела зависящей от времени задачи. В последнем случае временной предел может рассматриваться как релаксационный процесс по отношению к уравнениям Эйлера с включенной в них переменной времени, чтобы указать физическое направление релаксации. Истинные релаксационные процедуры не являются асимптотическими по времени, а основаны на релаксировании стационарных уравнений с целью получения решения для данного течения.

Релаксационные методы решения уравнений Эйлера рассматривались в работах [Steger, 1981; Johnson, 1980]. Стегер ноль- , зовался представлением уравнений Эйлера с расщепленными потоками и обычной релаксационной схемой для получения окончательного решения. Джонсон использовал новый подход, который он назвал методом замещенных уравнений, В его схеме записанные в дивергентной форме уравнения Эйлера встраиваются в систему более высокого порядка и решение уравнений Эйлера будет одним из частных случаев решения этой системы. Недостаток этого метода заключается в том, что приходится решать систему более высокого порядка, чем исходная система.

Сейчас обратимся к постановке граничных условий в методах сквозного счета. Отмечалось [Moretti, 1969], что корректная постановка граничных условий является делом непростым. Некорректные условия на твердой стенке могут привести к локально искаженным результатам, а во многих случаях даже разрушить решение. Гиперболические уравнения особенно чувствительны к граничным условиям. По причине их волновой природы ошибки в задании граничных условий распространяют-