j=3 j = 2

iiinviiirmmirtn/irmiiiiif

J = l» • • • • • • Подслой

Рис. 6.11. Фиктивные точки в подслое / = 1, необходимые для постановки граничных условий типа отражения.

Для реализации граничного условия по методу отражения узлы сетки размещаются таким образом, что поверхность тела совпадает со вторым слоем, а первый слой узлов размещен внутри тела. Чтобы понять основную идею отражения, предположим, что мы решаем задачу о стационарном двумерном сверхзвуковом течении путем интегрирования уравнений движения. Как показано на рис. 6.11, ось х (/ = 2) направлена вдоль поверхности тела, а первый слой сетки (/=1) находится внутри тела. Если интегрирование уравнений Эйлера осуществляется по схеме второго порядка, например по схеме Мак-Кормака, то параметры потока на поверхности тела можно получить непосредственно из расчета. Значения примитивных переменных в узлах подповерхностного слоя задаются в соответствии с процедурой отражения. Мы полагаем, что давление, плотность и касательная скорость суть четные функции расстояния по нормали вверх от поверхности, а нормальная скорость есть нечетная функция этого аргумента. Тогда давление, плотность и касательная скорость в точке подповерхностного слоя сетки равны

ся по сетке с отражениями, и в результате может возникнуть неустойчивость.

Ранее мы разъяснили простую идею постановки граничных условий. Обсудим еще три процедуры постановки граничных условий: 1) отражение; 2) метод Аббетта (стационарные сверхзвуковые течения); 3) метод Кенцера.

Идея отражения является, по-видимому, старейшей схемой при постановке граничных условий на твердой поверхности для течений невязкой жидкости. Она не имеет четкого обоснования и является до некоторой степени лишь приближением. Запрещен поток массы по нормали через твердую границу.

соответствующим значениям в первой точке слоя сетки, следующего сразу за слоем, совпадающим с поверхностью тела. Вместе с тем нормальная скорость в точке подповерхностного слоя берется с обратным знаком по отношению к значениям нормальной скорости в соответствующей точке слоя / = 3.

Для стационарной двумерной маршевой задачи уравнение поверхности тела можно записать в виде

f{x. y) = y--f{x) = 0/ (6.65)

Тогда граничное условие для касательной к поверхности компоненты скорости в случае течения невязкой жидкости есть

v = udf/dx. (6.66)

В общем случае условие отражения реализуется при помощи выражений для нормали к поверхности, для нормальной и касательной компонент скорости. Единичная нормаль к поверхности есть п = \F/\VF\, тогда касательная к поверхности скорость есть

u, = nXVXn, (6.67)

а нормальная -

u„ = (V.n)n. (6.68)

Величины скоростей, определяемые уравнениями (6.67) и (6.68), переносятся в точки подслоя, чтобы соблюсти условие отражения. На практике только одна компонента касательной скорости используется как скалярная величина. Выражение для касательной скорости может стать громоздким, если используется полная касательная скорость. Обычно мы получаем систему уравнений, которые необходимо решать также и для точек подслоя в случае применения данной схемы (см. задачу 6.11). Хотя условие отражения сравнительно легко реализуется, регулярного применения оно не находит. Условие отражения очень неточно для тел с поверхностями большой кривизны.

Аббетт [Abbett, 1973] разработал процедуру задания граничных условий, в которой в максимально возможной степени используются физические соображения при формулировке граничных- условий в плоскости, касательной к поверхности тела. Поскольку вычисляемый на последнем шаге процедуры интегрирования вектор скорости не параллелен поверхности тела, то основная идея метода Аббетта состоит в том, что вводится в рассмотрение течение типа простой волны, в котором газ либо сжимается, либо расширяется. При этом поток разворачивается и течет параллельно поверхности.

Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение совершенного газа. Пусть мы решаем стационарную маршевую задачу.

и пусть используется ортогональная система координат х\, Хъ Хъ, в которой вектор скорости представляется в виде

(6.69)

Компоненты скорости в соответствующих направлениях суть и, v,w\ единичный вектор нормали к поверхности есть п = Vf/ Vf,

Касательное напрашиие

Рис. 6.12. Ориентация вектора скорости на поверхности тела.

где поверхность тела задается уравнением

F {хи Х2У х) = x,-f (л:2, Хг) = 0. (6.70)

Откуда получаем выражение для нормали к поверхности тела

(6.71)

l/hi - [(i2lh2) {df/dx2)] - [(h/h,) jdf/dx,)]

Вектор скорости можно разложить на нормальную и касательную к поверхности компоненты. Если нормальная скорость рассчитывается в виде

u, = (V.n)n, (6.72)

то малое угловое расхождение Д0 между вектором скорости и плоскостью, касательной к поверхности, вычисляется по формуле

sin(Ae) = uJ/V, (6.73)

которую можно переписать в виде

sin(Ae) = (V.n)/V.

(6.74)

Ориентация вектора скорости относительно поверхности тела показана на рис. 6.12, где изображен также угол Д0. Вектор скорости V построен по значениям скорости на поверхности, рассчитанным в соответствии с принятой схемой интегрирования. Если в качестве последней используется схема Мак-Кормака,