Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

(Y + 1)M4-4(M2- 1)

4(M2 1)2

де2 + ... .

(6.75)

В этом выражении М и pi -число Маха и давление до поворота потока, р2 - давление после того, как поток повернулся. Определив давление из уравнения (6,75), можно вычислить изменение плотности. В этом месте схема Аббетта требует дополнительной информации. Полагают, что энтропия на поверхности известна. Величина р/р известна по крайней мере вдоль линии тока, омывающей тело. Для расчета нового значения плотности р2 используются новое значение давления рг и величина энтропии на поверхности.

Величина скорости в касательном направлении вычисляется из стационарного урабнения энергии. Если Н - полная энтальпия, то скорость вдоль поверхности тела находится в виде

\V,\=2{h-). (6.76)

Теперь могут быть определены компоненты скорости. Направление нового вектора скорости вдоль поверхности получаем вычитанием нормальной скорости из исходной (т. е. имевшей место до разворота потока) скорости, вычисляемой в процессе решения. В результате получаем выражение

Vr = V-(V.n)n, (6.77)

которое дает касательную компоненту исходной скорости. Полагают, что новый вектор скорости на поверхности имеет то же самое направление, а величина его равна

V2 = V2V,/VH. (6.78)

Эта процедура расчета граничных условий сравнительно проста в применении и дает отличные результаты (см. Kutler et al., 1973). Одна из основных трудностей, правда, состоит в опреде-

то показанный на этом рисунке вектор V строится по значениям, полученным на шаге корректор. Напомним, что на поверхности тела следует использовать на шаге корректор разность вперед.

Для разворота вектора скорости на угол Д9 так, чтобы он был параллелен поверхности, в поток вводится слабая волна. Если де положительный, то необходимо, чтобы газ расширялся. Поскольку поток разворачивается на угол Д0, то должно измениться и давление. Для слабых волн давление связано с углом поворота потока следуюш.им образом [см. NACA Report 1135 (Ames Research Staff, 1953]:



лении надлежащего направления вектора скорости по завершении процедуры. В методе Аббетта полагают, что вектор скорости по завершению процедуры лежит в касательной к поверхности тела плоскости в направлении пересечения касательной плоскости и плоскости, образованной нормалью и исходным вектором скорости. Поправка на то, что это допущение некорректно, не производится.

Одна из трудностей постановки граничных условий в методах сквозного счета состоит в обеспечении условий скольжения вдоль поверхности, когда косая ударная волна падает на твердую границу. Гриффин [Griffin, 1981] получил хорошие результаты, заменяя значение энтропии в последующей точке на поверхности тела {х + Ах, 0) его значением в предыдущей точке {Ху 0) плюс изменение энтропии между двумя предыдущими точками в слое над поверхностью тела (л:, Ау) и (л: -Ал:, Ау). Для стационарных сверхзвуковых течений эта процедура дает оценку значения энтропии на поверхности. Согласно Гриффину, эта процедура работает очень хорошо при определении корректной величины энтропии на поверхности и дает способ определения граничных условий для областей пересечения ударных волн с твердыми поверхностями..

Кенцер [Kentzer, 1970] предложил схему формулировки граничных условий, которая существенно использует соотношения совместности на характеристиках, приходящих к границе из внутренней области, вместе с граничным условием на поверхности. Этот подход аналогичен используемому в неконсервативном методе расщепления матричных коэффициентов, который будет рассматриваться в следующем разделе. При этом подходе используется условие скольжения вдоль поверхности в дифференциальной форме с соответствующим уравнением совместности.

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов

Метод расщепления матричных коэффициентов - сравнительно недавнее новшество в классе конечно-разностных методов для решения гиперболических уравнений в частных производных. Введенная Чакраварти [Chakravarthy, 1979; Chakravarthy et al., 1980] в практику исследований схема с расщепленными матричными коэффициентами является недивергентной формой схемы с расщепленными потоками, предложенной Стегером [Steger, 1978]. Метод расщепления матричных коэффициентов использует информацию о распространении сигнала, которую дает теория характеристик. Поэтому мы можем надеяться, что применение этого метода приведет к лучшим результатам по сравнению с теми, которые были получены прежними методами. Так



ОНО и оказывается. Рекомендуется применять метод расщепления матричных коэффициентов в тех случаях, когда численно решаются гиперболические уравнения в частных производных, записанные в недивергентной форме.

Получили также развитие и другие методы, в которых используется информация, приносимая на характеристиках. Гордон [Gordon, 1969] разработал во многом похожую схему для решения гиперболических систем. Моретти [Moretti, 1978]

d(pii-o)=0


Рис. 6.13. Характеристики и расположение точек сетки.

предложил так называемую Я-схему, в которой обработка зависит от направления распространения сигнала. В некоторых случаях Я-схема Моретти и метод расщепления матричных коэффициентов идентичны. Однако в случае многомерных течений при использовании произвольной системы координат единая формулировка разностных уравнений по Я-схемё не существует. Метод расщепления матричных коэффициентов позволяет точно получать разностные уравнения в случае произвольного числа измерений.

Метод расщепления матричных коэффициентов легко разъяснить на примере системы двух линейных уравнений, рассмотренной в § 6.2. Система (6.3) была диагонализирована и соотношения совместности записаны в виде

(P« + t)-(P« + t>)=o;

(P«-.) + i-(P«-.) = 0.

(6.79)

Как видно из рассмотрения рис. 6.13, эти уравнения эквивалентны требованию

d(pa-t>) = 0 (6.80а)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [ 108 ] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124