на характеристике х - у==1 и требованию

d{fiu + v) = 0 (6.80b)

на л: + = т].

Пусть мы хотим построить конечно-разностный аналог этих

выражений. На положительной характеристике т] = const (рис. 6.13) мы можем записать

{fiuv)n-(fu-vU = 0, (6.81)

а на характеристике i = const -

(6.82)

Эти уравнения можно решить относительно неизвестных в точке D, считая известными значения величин в точках Л и С. Метод характеристик основан на интегрировании уравнений совместности (6.80а) и (6.80Ь) вдоль характеристик. Конечно-разностный метод характеристик можно построить, используя эквивалентное уравнение (6.7Э). Прибавим и вычтем величину (рг/--у)в из уравнения (6.81). Это даст

Ал: P

Аналогично уравнение (6.82) можно записать в виде

= 0. (6.83)

= 0.

(6.84)

Эти два соотношения являются конечно-разностными аналогами уравнений (6.79) и приводят к тому же решению в точке iB. Схема с расщепленными матричными коэффициентами во многом основана на интегрировании соотношений совместности. Используемый в этом методе вид соотношений совместности получается, если переписать уравнение (6.79) в виде

р -1 р 1

г о

-1 -

о о J

Оно может быть записано так:

w. + Hrw; + H]-w, = o,

w-==0.

L-P 1 J

-1 J

(6.85)

(6.86)

Сравнивая с (6.14), видим, что

[АГ + [АГ = [А]. (6.87)

Смысл обозначения в (6.85) можно понять из уравнений характеристик. Матрица коэффициентов [А] расщепляется, чтобы корректно учесть направления распространения сигнала при использовании односторонних разностей. Например, член [Л]"*" означает вклад характеристики с положительным наклоном. В этом случае берется разность назад для производных от w, и об этом нам напоминает знак собственного значения. Если для аппроксимации производных по у используются простые односторонние разности, уравнение (6.85) в форме с расщепленной матрицей коэффициентов аналогично конечно-разностному методу характеристик. Если же используются односторонние разности более сложного вида, то эти методы уже не идентичны, хотя расщепление все же содержит информацию о распространении сигнала.

Пример 6.3. Решить задачу из примера 6.1 методом расщепления матричных коэффициентов.

Решение. Соответствующие конечно-разностные уравнения получаются, если записать два скалярных уравнения (6.85) в виде

Ux + V2 (Uy - Vy)"- - V2 (Uy + Vy)- = 0, Vx + V2 (- Uy + Vyf - V2 {Uy + Vy)- = 0.

Теперь для производных по х используем разности вперед, а члены плюс и минус аппроксимируем разностями первого порядка. Тогда первое из разностных уравнений можно записать как

«Г=«/ - W - -++

Аналогичным образом получаем второе выражение. Граничные условия известны, и мы можем интегрировать конечно-разностные уравнения в маршевом направлении л:, начиная с поверхности задания начальных условий. Мы построили схему первого порядка с расщепленными матричными коэффициентами для решения задачи из нашего примера. Результаты ее численного решения прекрасно согласуются с точным решением (см. задачу 6.6).

Устойчивость явных схем с расщепленными матричными . коэффициентами определяется обычным условием Куранта -

Фридрихса - Леви. Другие пределы устойчивости получаем при использовании односторонних разностей более высокого порядка. Это будет предметом более подробного обсуждения в данном параграфе.

Мы описали метод характеристик и метод расщепления матричных коэффициентов для простой линейной задачи. На ее примере мы продемонстрировали основные идеи, на которых основаны эти схемы. Оба этих метода пригодны и для нелинейных уравнений динамики жидкости, пока последние остаются гиперболическими. Сейчас рассмотрим теорию этого метода для системы нелинейных уравнений гиперболического типа.

Уравнения нестационарного одномерного течения невязкого совершенного газа имеют вид

+И] 47 = 0» (6.89)

где W есть п-компонентный вектор неизвестных и [Л]-матрица размером пУ,п. Собственные значения [А] определяют характеристические направления, и можно записать

dxidt = Я/, / = 1, 2, ..., /г. (6.90)

Для каждого собственного значения Я/ существует левый собственный вектор L/, удовлетворяющий условию

и([Л]ЯЛ/]) = 0. (6.91)

Как и в примере с линейной задачей, уравнение совместности получаем умножением транспонированного вектора Li на исходную систему (6.89):

L[ (w, + [А] wj = Lf (w, + ,wj = 0. (6.92)

Это приводит к уравнениям вдоль характеристик, и собственно с этого момента начинается построение схемы с расщепленными матричными коэффициентами. Пусть [Т]" есть матрица, п строк которой являются п левыми собственными векторами, взятыми по порядку. Тогда уравнение совместности можно записать в виде

[Гl-w, + [Лл]m"w, = 0, (6.93)

где [Лл] - диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы [А]. После умножения (6.93) на [Т] слева получаем

w, + m[A]m~w, = 0. (6.94)

Исходную матрицу [А] можно теперь записать как

И] = т[Лд][Г]-. (6.95)