В качестве примера рассмотрим систему уравнений (2.45), записав ее в виде

(2.48)

Собственные значения X матрицы [А\ определяются из решения уравнения

detH]-[/] = 0.

Следовательно,

-1 -%

= 0,

т. е. X-с2 = 0. Корни этого уравнения равны: Х\ = -\-с, = = -с. Вспомним определение характеристик волнового уравнения

Система уравнений в этом случае гиперболическая, и мы видим, что собственные значения матрицы [А] определяют направление характеристик волнового уравнения.

Во втором случае тип системы уравнений (2.47) можно определить, когда все собственные значения матрицы [А] комплексные. В этом случае система уравнений называется эллиптической по (дс,/). В качестве примера рассмотрим систему уравнений Коши -Римана.

Пример 2.10. Запишем систему уравнений (2.46) в виде

Собственные значения матрицы [А] равны =+/, J12 = -/. Так как собственные значения матрицы [А] комплексные, то система уравнений (2.46) эллиптическая, что согласуется с уже известными нам свойствами решений уравнения Лапласа.

Система уравнений в частных производных первого порядка (2.47) может оказаться эллиптической по (у, t) и гиперболиче-

ской ПО {Ху t) В зависимости от собственных значений матриц [В] и [Л]. Это связано с тем, что тип системы уравнений в частных производных первого порядка по (х, /) и по (у, t) определяется независимо.

Хеллвиг [Hellwig, 1977] предложил классификацию систем уравнений вида

а, - + &1 + а2+ &2 = Гь

Перепишем ее в векторном виде

ду ди ду

Здесь

[Л] =

Пусть

и IV \

а, б,-

(2.49)

[C] =

«2 bi

-di-b,

И пусть D = В2 -4Л I C, где Л [ - определитель матрицы [Л]. Система уравнений (2.49) гиперболическая при D > О, эллиптическая при D < О и параболическая при D =0.

Не ясно, однако, как поступать в том случае, когда часть корней характеристического уравнения вещественные, а часть - комплексные. Система уравнений в частных производных с таким характеристическим уравнением смешанная и может обладать свойствами, характерными одновременно для гиперболических, параболических и эллиптических уравнений. Понять основные свойства решений систем уравнений в частных производных смешанного типа обычно помогает знание описываемых ими физических процессов, а уже имеющийся опыт решения аналогичных систем уравнений -корректно поставить для них задачу.

Еще более сложной является классификация систем уравнений в частных производных второго порядка. Определить тип такой системы удается лишь в простейших случаях. Например, система уравнений щ=[А]\Ххх параболическая в том случае, когда все собственные значения матрицы [Л] вещественные. От-

+u=v (2.52)

отличается от предыдущего нелинейного уравнения (2.51) тем, что в правую часть добавлен диффузионный член. Это уравнение очень похоже на уравнения газовой динамики и часто используется как простая модель для анализа численных методов их решения.

4. Уравнение Трикоми

меченные выше проблемы, возникающие при классификации систем уравнений первого порядка смешанного типа, сохраняются и для систем уравнений второго порядка.

§ 2.6. Другие представляющие интерес уравнения в частных производных

В этой главе мы пока изучали в основном решения уравнений второго порядка - уравнения Лапласа, теплопроводности и волнового уравнения, а также систем уравнений в частных производных первого порядка. Приведем еще несколько очень важных уравнений в частных производных, которые либо описывают часто встречающиеся физические процессы, либо используются для анализа свойств разностных схем, применяемых при решении более сложных уравнений. Для большинства приведенных ниже уравнений существуют точные аналитические решения.

1. Линейное волновое уравнение первого порядка

4 + cf- = 0. (2.50)

Это уравнение описывает волну, бегущую вправо с постоянной скоростью с. Оно часто встречается в метеорологии.

2. Невязкое уравнение Бюргерса

-ir+»#=»•

Иногда его еще называют нелинейным волновым уравнением первого порядка (уравнением переноса). Это уравнение описывает процесс распространения нелинейных волн в одномерном случае.

3. Уравнение Бюргерса