дх У дх ду ду

ди , ди . дР

dv dv дР (6.99)

дх ду у ду ds . ds дх ду

Если [Аа] расщепить на положительную и отрицательную части:

[Лл] = [Лл][Лл]- (6.96)

и подставить в уравнение (6.95), то получим

[А] = [Т] [АаГ [TV + [Т] [АлГ [ТГ\ (6.97)

где И] = И] + + И]~ Матрицы [Л]+ и [Л]-отождествляются с собственными значениями и собственными векторами. Мы опять можем записать наше уравнение в виде

w. + Hl+w. + nrw.-O, (6.98)

где смысл обозначений «4:» такой же, как и в предыдущем примере.

Пример 6.4. Пусть мы собираемся получить расщепленную форму записи стационарных двумерных уравнений Эйлера. Ее можно использовать для расчета стационарного сверхзвукового обтекания любой двумерной поверхности. Уравнения в этом случае имеют окончательный вид

+ [Т] [АГ [ТГ wy + [Т] [АГ [Т]- wy = 0.

Мы уже получили вид матрицы [Т]- [см. выражение (6.19Ь)]. Остается только вычислить ее элементы. Эти алгебраические вычисления довольно просты. В задачах такого типа эти вычисления приходится проделывать на каждом шаге для определения и Х- и, следовательно, для правильного дифференцирования по пространственным координатам. Остальные подробности этого примера даны в качестве упражнения в задаче 6.7 настоящей главы.

Была предложена альтернативная форма записи [Moretti, 1971; Salas, 1975; Marconi, 1980] основных уравнений динамики жидкости. В ней производные плотности в уравнении неразрывности заменены на производные давления по известному выражению для скорости звука. Кроме того, вместо уравнения энергии используется уравнение для энтропии. В такой форме уравнения из п. 5.5.4 выглядят так:

2wy-3w; + w% Ajc

(6.100)

Шаг корректор

п4-1 n , А/ / n t n+W

В ЭТОЙ системе неизвестными величинами являются компоненты скорости и и Vy энтропия S и натуральный логарифм давления Р. Интересно заметить, что уравнение для энтропии не связано с остальными уравнениями системы. Следовательно, энтропию можно рассчитывать независимым образом. Моретти [Moretti, 1971] указал, что для аппроксимации энтропии всегда следует использовать разности вверх по потоку, поскольку уравнение для энтропии выражает всего лишь тот факт, что эта функция постоянна вдоль линии тока. Это требует, чтобы разностная аппроксимация производной ds/dy была вперед или назад в зависимости от знака v/u. Это согласуется с методом расщепления матричных коэффициентов. Даже в схеме Мак-Кормака рекомендуется для энтропии использовать разности вверх по потоку.

Особое внимание следует уделить должной аппроксимации членов с производными в методе расщепления матричных коэффициентов. Чтобы охватить в нашем рассмотрении большее число идей общего характера, вновь обратимся к нелинейному уравнению (6.98). Если обозначить разность первого порядка назад через V, а разность первого порядка вперед через А, то схема первого порядка по времени и по пространству будет задаваться выражением

wr • = W? - {[АГ Vw? + [Л]- Aw?) .

Разработка схем второго порядка требует большей тщательности. Моретти [Moretti, 1978] предложил схему с переключением с двухточечных разностей на трехточечные на последовательности предиктор-корректор. Шаг предиктор

wp = W? - М {[А]" + [АГ vftl

на котором производные по пространственной координате аппроксимируются следующими выражениями:

причем пространственные производные в w?"*" аппроксимируются с использованием значений, полученных на шаге предиктор. Чтобы обеспечить требуемый второй порядок точности, разностная аппроксимация на каждом шаге меняется. Важно отметить, что точные явные схемы второго порядка с односторонними разностями не так компагтны, как схемы с центральными разностями. Для уравнения (6.98) требуется задействовать три точки для схем первого порядка и пять точек для схем второго порядка. С другой стороны, схема Мак-Кормака формально дает второй порядок аппроксимации по пространству и использует только три точки.

Недостаток схемы, описываемой уравнениями (6.100) и (6.101), заключается в том, что она не удовлетворяет точно условию сдвига. Это значит, что при числе Куранта, равном единице, она в точности не следует характеристикам линейной задачи. Габутти [Gabutti, 1982] для устранения этого недостатка ввел поправку. Предложенная им схема является трехшаговой. Для уравнений (6.99) имеем

Шаг предиктор

wr = W/" - ([Л]+ Vw/" + [А]- Aw?). (6.102)

Промежуточный игаг

(6.103)

Шаг корректор

wr = + f (w; + wr). (6.104)

Здесь w?" вычисляется обычным способом по исходному уравнению с использованием передних и задних разностей первого порядка. Интересно заметить, что эта схема полностью совпадает с предложенной Уормингом и Бимом [Warming, Beam,

на котором пространственное дифференцирование как в w?,

так и в w?" производится по двухточечному назад и трехточечному вперед выражениям