[Г]- =

0 0 a

(6.115)

Матрицы [Лв], [5]- и [S], соответствующие матрице [5], выглядят аналогично с заменой g на т) в элементах [Л]. Пусть

1

eg

Отрицательное Я

Положительное X

Рис. 6.16. Вычислительная плоскость (т, ч).

при т] = О имеется твердая стенка. Так как мы интегрируем уравнения по времени, будем исследовать характеристические направления в плоскости (т, т]), чтобы найти те, на которых можно пользоваться соотношением совместности, и те, которые должны быть заменены граничными условиями. На рис. 6.16 изображена плоскость т, ц. Поскольку события развиваются в сторону увеличения времени, границы достигает информация, которая переносится только вдоль характеристики с отрицательным наклоном (правая характеристика). Информация, переносимая левой характеристикой, должна быть заменена граничными условиями на стенке. Третье уравнение совместности, соответствующее третьему собственному значению матрицы (6.114), в которой й заменено на у, а g - на т], не может быть использовано. Граничное условие в этом случае такое:

v = ц + uц + vr]y = 0,

(6.116)

то уравнение (6.110) можно переписать в виде

w. + [S][AB][Srw + g = 0.

Уравнения совместности в плоскости (Хуц) суть

[S]-w, + [Ав] [S]- + [S]- g = 0.

Третье уравнение совместности заменяется дискретизированным условием скольжения вдоль поверхности [уравнение (6.117)], что приводит к системе вида

[D]w, + e + f = 0,

(6.118) (6.-119) (6.120)

(6.121)

[D] =

LS41

*12 *13 *14 *22 *23

42 «44 J

Е S2igi

Здесь Si/ -элементы матрицы [S]- Теперь можно получить явные выражения для элементов из уравнения (6.121).

Поскольку мы обсуждаем постановку граничных условий для уравнений Эйлера, записанных в недивергентной форме, удобно рассмотреть вопрос о выделении скачка. Обычно мы выделяем скачок как некоторую границу, и расчет положения скачка является частью всего решения. На показанной на рис. 6.16 вычислительной плоскости скачок будет формироваться

Продифференцируем это выражение по времени; тогда получим

ЛЛ + Лг,т = 0. (6.117)

Чтобы получить решение на границе, это выражение используется совместно с тремя остальными уравнениями совместности. Основную систему уравнений можно преобразовать. Если положить

g-[T][AA[Trw + h,

При ri=t]max. Выделбниб скачка - вопрос удовлетворения соотношениям Гюгонио-Рэнкина при одновременном соблюдении того, чтобы решение за скачком было совместимо с остальным полем течения.

Решение за ударной волной определяется параметрами свободного потока, скоростью ударной волны и ее ориентацией. Если мы знаем параметры свободного потока, первоначальный наклон ударной волны и скорость, то в схеме выделения скачка неизвестными величинами в первую очередь можно считать скорость ударной волны или перепад давления на ней. Чтобы получить выражение для ускорения ударной волны или давления за ней, применяется обычная процедура объединения соотношений Гюгонио - Рэнкина с одним из уравнений совместности. Например, если мы нашли давление за скачком, то можно вычислить другие параметры течения за скачком при помощи соотношений

чт , . . hx + j4i/ , , ,

«={w[l:<v+)+(v-i)]}".

200(1-ML)

(6.122)

p-vpco Y+l J

Щп Un- (Y+1)M, 1

LH-(Y~l)(/72/Poo)/(Y+l)

V2 = V«, -f - wooj n, [sign (V«,. n,)].

Нижний индекс оо относится к условиям свободного потока, индекс 2 - к параметрам потока сразу за скачком; индекс s указывает на принадлежность к поверхности скачка, п обозначает нормаль к этой поверхности. Уравнение (6.122) легко получить из соотношения Гюгонио-Рэнкина и выражения для относительной скорости ударной волны. Подробности этого вывода опускаем, так как они аналогичны тем, которые были приведены в предыдущем параграфе, когда схема выделения скачка применялась для маршевой по пространству задачи. На рис. 6.17 показаны обозначения и ориентация ударной волны в физическом пространстве. В соответствии с уже обсуждавшейся процедурой постановки граничных условий информацию на ударную волну из внутренней области приносит только одна характеристика. Пусть это будет характеристика А,4, а соответствующее уравнение совместности имеет вид

ts,i{w,, + Kw + gi) = 0. (6.123)