6.20 приведены два примера расчета обтекания. На рис. 6.18 показана типичная форма головной ударной волны при обтекании сферы при числе Маха набегающего потока 2.94, а на рис. 6.19 - распределение давления, причем на нем же приведены результаты расчетов работы [Salas, 1979]. На рис. 6.20 представлены ударная волна и звуковые линии при обтекании конуса с углом при вершине 60° с цилиндрической хвостовой частью при числе Маха набегающего потока 1.81. Эти решения были получены методом расщепления матричных коэффициентов, при этом головная ударная волна трактовалась как разрыв. Из методов, пригодных для решения уравнений Эйлера, записанных в недивергентной форме, метод расщепления матричных коэффициентов особенно хорошо себя зарекомендовал в связи с выделением скачка.

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала

Хотя в настоящее время во многих случаях стало возможным численное решение уравнений Эйлера, все же желательно иметь упрощенную систему уравнений, которую можно решать более простым способом при меньших затратах ресурсов ЭВМ. Это могло бы найти применение на этапах предварительного проектирования сверх- и гиперзвуковых летательных аппаратов, когда рассматривается много вариантов аэродинамических конфигураций с попыткой их оптимизации. В задачах такого рода затраты памяти и процессорного времени, требуемые для решения уравнений Эйлера для каждой задачи, чрезмерно велики.

Как хорошо известно в механике жидкости, существует иерархия уравнений, основанная на порядке аппроксимации, который хотят получить, или на допущениях, которые делают при выводе этих уравнений. Если попробовать упростить уравнения Эйлера, то следующим шагом будет рассмотрение решения уравнения полного потенциала.

Уравнение для полного потенциала, записанное либо в дивергентной, либо в недивергентной форме, часто используется в задачах трансзвуковой аэродинамики. При выводе уравнения для полного потенциала требуется, чтобы поток был безвихревым. Кроме того, из уравнения Крокко (5.187) вытекает требование отсутствия производства энтропии. Таким образом, в формулировке задачи для полного потенциала изменение энтропии при прохождении через скачки, даже в сверхзвуковых потоках недопустимо. На первый взгляд это допущение обедняет постановку задачи. Однако практика показывает, что решения уравнений Эйлера и уравнения потенциала отличаются друг от друга незначительно в тех случаях, когда число Маха, рассчитанное по компоненте скорости, нормальной к фронту скачка.

Уравнение (6.129) иногда называют квазилинейной формой уравнения полного потенциала. В нашем обсуждении решений уравнения Эйлера отмечалось, что применение недивергентной формы не давало приемлемых результатов на скачках. Однако в случае трансзвуковых течений эта проблема не возникает, так как скачки в этом случае слабые. В настоящем разделе мы

близко к единице. Производство энтропии на слабом скачке зависит от числа Маха по нормальной проекции скорости, и мы можем записать [Liepmann, Roshko, 1957]

Это подтверждает тот факт, что допущение о постоянстве энтропии при переходе через скачок является разумным, пока число Маха по нормальной проекции скорости достаточно близко к единице. Важно отметить, что это допущение касается локального числа Маха по нормальной проекции скорости, а не числа Маха в свободном потоке.

Если допущение о безвихревом характере течения оправданно, то следует ожидать, что решение уравнения потенциала будет столь же хорошо, как и решение уравнений Эйлера, даже в сверх- и трансзвуковых потоках с ударными волнами. Трудностей при решении уравнений Эйлера нельзя полностью избежать даже сведением задачи к решению уравнения потенциала, так как в любом случае задача остается нелинейной, пусть и упрощенной. Здесь мы обсудим применение уравнения потенциала для расчета сверх- и трансзвуковых течений. Поскольку мы занимаемся практическими приложениями гиперболических уравнений, то начнем со сверхзвуковых стационарных течений, а затем перейдем к трансзвуковым.

Потенциальное приближение уравнений Эйлера можно получить как в дивергентной, так и в недивергентной форме. Двумерные уравнения потенциала в недивергентной форме (5.197) можно записать в виде

(l-)..-.,+ (l -)фуу=-0, (6.129)

и = дф/дх, v = дф/ду, (6.130)

и а - скорость звука, которую можно рассчитать по уравнению энергии

,2 j + bl j3j

1 -ML(r/2+t;2-l)f \ (6.134)

в этой записи плотность и компоненты скорости обезразмери-вают по параметрам свободного потока. В случае сверхзвуковой маршевой задачи требуется решать уравнения (6.132) - (6.134) с граничным условием непротекания на поверхности

дф/дп = 0 (6.135)

и заданным числом Маха в свободном потоке Моо. Такая постановка задачи существенно проще, чем решение полных уравнений Эйлера.

Уравнение полного потенциала в недивергентной форме было использовано в работах [Grossman, 1979; Grossman, Siclari, 1980] для расчета обтекания конических и закрученных с несимметричным профилем дельтовидных крыльев. Для получения решений была использована недивергентная формулировка и релаксационная схема для трансзвуковых течений. Сейчас мы опишем маршевую процедуру [Shankar, 1981; Shankar, Chakravarthy, 1981] решения уравнения потенциала, записанного в дивергентной форме, чтобы пояснить идею линеаризации плотности, использованной в этих работах.

Прежде чем обрисовать в общих чертах всю процедуру, необходимо обсудить конечно-разностную аппроксимацию уравнения потенциала. Так как, считая течение безвихревым, мы вводим потенциал, то в нашей системе уравнений отсутствует механизм диссипации. Вследствие постоянства энтропии уравнения потенциала допускают решения в виде скачков разрежения и уплотнения. В расчете дозвуковых течений нет особенностей. В сверхзвуковых потоках невозможно появление скачков разрежения, и их следует исключить из рассмотрения. Эту трудность можно обойти явно или неявно путем введения искусственной вязкости.

будем рассматривать методы решения уравнения полного потенциала, записанного в дивергентной форме.

Двумерное безразмерное уравнение полного потенциала в дивергентной форме можно записать в виде

1 + - = 0. (6.132)

где звездочка, обозначающая обезразмеривание функций, опущена, и

и = дф/дх, о = дф/ду. (6.133)

Плотность рассчитывается по уравнению энергии в виде