ФХХ=-

-у--ТКу-

, 0/, /+1 - 20. у + / 1 Гуу -

Сеточный шаблон для точек, в которых скорость потока меньше (точки эллиптичности) или больше (точки гиперболичности) скорости звука, показан на рис. 6.21.

Изображенные на рис. 6.21 узлы сетки иллюстрируют корректную зависимость от типа уравнения для до- или сверхзвукового течения. Расположение точек шаблона для стационарного уравнения потенциала говорит в пользу применения неявной

Мёрман и Коул [Murman, Cole, 1971] в своей знаменательной работе о трансзвуковых течениях указали, что производные в каждой точке области расчета должны быть корректно аппроксимированы в соответствии с типом уравнения. Они рассматривали трансзвуковое уравнение малых возмущений, но эта же идея применима и для уравнения потенциала.

Чтобы проиллюстрировать конечно-разностную аппроксимацию, зависящую от типа уравнения, рассмотрим уравнение в недивергентной форме (6.129). Тип этого уравнения гиперболический в точках, где {и + v) /а - 1 > О, и эллиптический в точках, где {и+ v)/a-l <0. Пусть поток направлен вдоль

К ) К • К К

Иаправлеиие

J~-м м --к к к

к м к .км

(а) (Ь)

Рис. 6.21. Аппроксимация, зависящая от типа уравнения; (а) точки эллиптичности; (Ь) точки гиперболичности.

оси X. Если течение дозвуковое, то уравнение эллиптическое и производные аппроксимируются центральными разностями. Если течение сверхзвуковое, то уравнение гиперболическое в рассматриваемой точке и вторые производные в направлении течения (в продольном направлении) берутся со смещением шаблона вверх по потоку. Имеем следующие конечно-разностные выражения для вторых производных в точке (/, /):

схемы. Если мы имеем дело только со сверхзвуковым течением, т. е. в расчетной области нет точек эллиптичности, то решение можно получить и по явной схеме. Но этого не рекомендуют делать, если в некоторых точках поля течения скорость потока ненамного превышает звуковую, так как критерий устойчивости Куранта - Фридрихса- Леви запрещает иметь разумные размеры шага. В этом случае применение явных схем, даже для чисто сверхзвуковых течений, становится непрактичным.

Линия Маха

Направление течения

Линия Маха

Рис. 6.22. Случай, когда направление сетки не совпадает с направлением течения.

Если построить дифференциальное приближение для конечно-разностного представления фхх в точках гиперболичности, то окажется, что старшие отброшенные члены имеют вид

Ах{иаф,,,. (6.137)

Это эквивалентно введению положительной искусственной вязкости в точках, где и > а. Если конечно-разностная аппроксимация (6.136) применяется в точке эллиптичности, то искусственная вязкость становится отрицательной и возникает проблема устойчивости. Джеймсон [Jameson, 1974] указал, что эта трудность возникает в тех случаях, когда поток сверхзвуковой и компонента и скорости в направлении х меньше скорости звука. Проблему можно понять, рассматривая случай, когда поток не строго параллелен направлению Ху как это показано на рис. 6.22. Шаблон разностной схемы неправильно учитывает область зависимости точки (f,/). Одна из точек шаблона (/, /+1) в этом случае расположена перед характеристикой, проходящей через точку (г,/). Чтобы преодолеть эту трудность, Джеймсон предложил схему, учитывающую разворот потока.

Идея состоит в том, что уравнение потенциала записывается в потоковых координатах в виде

{a-V)Фss + aФnn = Oy (6.138)

где S и /г -расстояния, измеряемые вдоль линий тока и по нормали к ним. По правилу дифференцирования сложных функций вторые производные фзз и фпп выражаются через х и у следующим образом:

(6.139)

Фпп = ут {Чхх - "гьфу + иЧуу).

в разностной аппроксимации для фаз производные по х у берутся со смещением назад (с запаздыванием), тогда как для фпп используются центральные разности. Когда поток направлен вдоль одной из осей координат, схема Джеймсона сводится к уравнению (6.136) и вводит искусственную вязкость с главным членом вида

(l--)(Ast.2,,,+ ...). (6.140)

Поэтому мы имеем положительную искусственную вязкость во всех точках, где поток сверхзвуковой, и можно надеяться, что скачки будут скачками сжатия. Так понятие искусственной вязкости используется для объяснения свойств решения уравнения полного потенциала. К тем же самым выводам можно прийти путем тщательного анализа конечно-разностных уравнений, рассматривая разные его члены.

В работе [Hafez et al., 1979] при рассмотрении трансзвуковых течений применена идея искусственной сжимаемости для введения искусственной вязкости в сверхзвуковых областях течения. Эту идею впервые предложил Хартен [Harten, 1978], пытаясь улучшить методы сквозного счета для сверхзвуковых течений. Для получения требуемой искусственной вязкости в некоторых работах [Hoist, Ballhaus, 1979; Hoist, 1979] использовалось смещение шаблона плотности вверх по потоку. Описанный ниже метод включает в себя эти идеи и очень полезен при решении уравнения полного потенциала.

Чтобы понять, как через смещение шаблона при аппроксимации плотности или искусственную сжимаемость вводится искусственная вязкость, полезно рассмотреть одномерное уравнение потенциала

(р§) = 0. (6.141)