Как говорилось выше, такое явное добавление искусственной вязкости эквивалентно введенной Мёрманом и Коулом [Mur-man. Cole, 1971] разностной аппроксимации, зависящей от типа уравнения. Джеймсон [Jameson, 1975] показал, что член (6.143) эквивалентен члену вида

-A;.(vp,<,)„ (6.145)

(6.146)

Такое представление получают дискретизацией одномерного уравнения энергии. Если искусственную вязкость в таком виде ввести в уравнение потенциала, то конечно-разностная аппроксимация уравнения (6.141) будет выглядеть так:

(Р - [0iU2h] - V [V, (р,,, - р, ,,) А,] = 0.

(6.147)

Было показано [Hoist, Ballhaus, 1979], что она имеет второй порядок точности и в дозвуковых зонах эквивалентна аппроксимации уравнения центральными разностями. В сверхзвуковых зонах из-за добавления искусственной вязкости конечно-разностное представление (6.147) является схемой первого порядка с разностями вверх по потоку. По мере увеличения числа Маха шаблон все более смещается вверх по потоку. В дозвуковых зонах шаблон производных плотности не смещается.

Его аппроксимация имеет второй порядок и выражается в следующем виде:

(Pi+i/2AO=0. (6.142)

где обозначения имеют тот же смысл, что и ранее. В точках эллиптичности уравнение (6.142) корректно. В точках гиперболичности следует добавить искусственную вязкость так, как это делает Джеймсон [Jameson, 1975]:

-~Ax(jx,,)„ (6.143)

ц = Ып ф1 (6.144)

{/ = Л,5 + 4, УАф--А.ф, (6.151)

Л, = 11 + Щ, = + 4 = + (6-152)

~ д(х, у)~ "У У*

Разностное выражение (6.147) можно также записать в виде ж(р)-ПРн./2А.) = 0> (6.148)

если pi-.i/2 определить следующим образом:

p/+I/2 = (1 - р/+1/2 + /р/-1/2» (6-149)

где значения в центрах ячеек рхч-1/2 получаются из уравнения энергии (6.134), в которое входит только величина Uy которая оценивается как (j+i - 0/Ал. Из уравнений (6.148) и (6.149) видно, что добавление искусственной вязкости эквивалентно тому, что плотность берется с запаздыванием. Джеймсон [Jameson, 1975] добавляет искусственную вязкость явным образом, тогда как в описываемой здесь схеме она включается посредством представления плотности в специальном виде. Если для искусственной вязкости V выбирается представление (6.144), то оба метода дают одинаковые результаты. Если v = О, то схема хорошо работает только в дозвуковых зонах и неустойчива в сверхзвуковых зонах. Однако если v равно положительной константе, то схему можно применять как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых течений. Следует заметить, однако, что в этом случае результирующая схема дает только первый порядок точности и является сильно диссипативной. Недавно были разработаны схемы второго порядка, в которых значения плотности берутся со смещением [Steinhoff, Jameson, 1981].

Прежде чем применять подход, основанный на введении искусственной сжимаемости или использовании значений плотности со смещением, преобразуем уравнения в вычислительной плоскости {1уЦ)у что позволяет более просто ставить граничные условия. Если выполнить преобразование уравнений к строго дивергентному виду [Viviand, 1974], то уравнение (6.132) принимает вид

(рт), + (РТХ = 0- (6.150)

где и и V-контравариантные компоненты скорости, задаваемые выражениями

(6.153)

Необходимо знать также и метрические коэффициенты. Они связаны с производными физических координат следующим образом:

в.б.Ь Методы для сверхзвуковых течений

Для демонстрации процедуры решения уравнения полного потенциала для сверхзвуковых течений выберем g в качестве маршевого направления, и пусть на слое / и всех предшествующих слоях нам известна вся информация. Наша задача состоит в получении значения ф на слое i+ 1. Первый член уравнения потенциала аппроксимируем в точке (i+l/2,/), а второй - в (i,/) или в (/+ 1,/) для полностью неявной схемы.

Рассмотрим первый член уравнения (6.150): d/dl{pU/J). Чтобы получить решение в следующих точках по направлению , разложим р в ряд относительно известных величин i-ro слоя. Так как р явно зависит от компонент скорости, запишем

9 = 9{фх>Фу) и р = р+Ар,

(6.155)

£р

Если плотность выразить из уравнения (6.153), а U и V - из уравнения (6.151), то изменение плотности запишется в виде

Ap=-lLru,j- + V,-f) А, (6.156)

где Аф - ф - fi, Afi. = ф1 - fi-u Выражая плотность из уравнения (6.155) и и из (6.151), производную по g в уравнении потенциала можно записать так:

Д0 *Pif/,

-/PiAj piUtVi \ д(АФ) j Ms

(6.157)

а плотность определяется выражением

i/(Y-i)