является уравнением Схмешанного типа. Оно описывает, например, трансзвуковые течения невязкого газа. Важным свойством уравнения Трикоми является то, что оно изменяет тип с эллиптического на гиперболический в зависимости от знака у,

5. Уравнение Пуассона

0 + = /(..). (2.54)

Это уравнение эллиптического типа описывает распределение температуры в твердом теле, когда внутри тела есть источники тепла интенсивности f(x,y). Уравнение Пуассона описывает также напряженность электрического поля, если плотность распределения зарядов равна f{x,y).

6. Уравнение конвекции и диффузии

Это уравнение описывает перенос скалярной величины при скорости конвекции и\ а - коэффициент либо вязкости, либо диффузии.

7. Уравнение Кортевега де Вриза

Это уравнение описывает процесс распространения нелинейных волн при наличии дисперсии.

8. Уравнение Гельмгольца

-g- + 0 + «=O. (2.57)

Это уравнение описывает движение нестационарной гармонической волны с волновым числом к. В приложениях его используют для описания распространения звуковых волн.

Задачи

2.1. Покажите, что в решении уравнения Лапласа (2.3), полученном в примере 2.1, коэффициенты ряда Фурье An определены правильно. Указание. Умножьте обе части соотношения (2.3) на sin(rrmx) и проинтегрируйте в интервале 0,v 1; вы получите требуемый результат, если учтете граничное условие Т{х,0)= Tq.

2.2. Покажите, что поле скорости, потенциал которого описывается соотношением (2.6), удовлетворяет граничному условию (2.4).

2.3. Покажите, что формулы (2.14) действительно дают решение волнового уравнения. Воспользуйтесь методом разделения переменных.

2.10. (a) Разложите в ряд Фурье по косинусам функцию

f (х) = sin (jc), О < д: < л.

(Ь) Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f (х) = cos (х), 0<х<п.

2.11. Найдите характеристики уравнений

(a) ! + 3 + 2-. = o, дх" дхду ду

-d--d7diW~

2.12. Приведите уравнения предыдущей задачи к канонической форме.

2.13. Приведите к канонической форме следующие эллиптические уравнения в частных производных:

-dJ?+-dHi + -dpr=0,

(b) ! 2- + 5-Й- + =0. дх дхду ду ду

2.4. Покажите, что тип уравнения в частных производных не меняется при любом невырожденном вещественном преобразовании переменных.

2.5. Приведите гиперболическое уравнение (2.29) к канонической форме, применив к уравнению (2.15) преобразование переменных (2.30) и (2.30а). Найдите а и р.

2.6. Покажите, что записанное в канонической форме уравнение (2.36) действительно параболическое.

2.7. Покажите, что единственное решение уравнения, приведенного в примере 2.8, существует, только если

5f(e)rf/=o,

где интеграл вычисляется по единичной окружности с центром в начале координат.

2.8. Определите тип уравнений

ди ди . д

дх дхду а«/

2.9. Определите тип системы уравнений по {f,x) и (t,y):

2.14. Приведите к канонической форме следующие параболические уравнения в частных производных:

дх дхду ду дх

ih\ . дЧ дЧ ди ди

2.15. Решите волновое уравнение

д*и д»и .

С начальными условиями

w(a:, 0) = 1, w(a:, 0) = 0.

2.16. Решите уравнение Лапласа

Vw = 0. О < д: < я, О < г/ < л, с граничными условиями

и {х, 0) = sin д: + 2 sin 2х, «/) = 0, м(д:, я) = 0, м(0, г/) = 0.

2.17. Повторите задачу 2.16 при

и (jt, 0) = - лх + 2пх - х\

2.18. Решите уравнение теплопроводности

ди дЧ л 1 Ж = 0<;.<1,

с граничными условиями

м(ЛО) = 0, 1) = 0

и начальным условием

м (О, х) = sin (2яд:).

2.19. Повторите задачу 2.18, если начальное условие имеет вид

м (О, jt) = 1 - cos (4яд;).