Глава 3 Основы метода конечных разностей

§ 3.1. Введение

В этой главе изложены основные понятия и методы, используемые при конечно-разностном решении уравнений в частных производных. Основой метода конечных разностей является дискретизация-замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Основные особенности получающейся системы алгебраических уравнений определяются типом исходного уравнения в частных производных (или системы уравнений в частных производных). Стационарные задачи обычно сводятся к системам алгебраических уравнений, которые приходится решать одновременно во всей расчетной области, учитывая заданные граничные условия. Маршевые задачи часто сводятся к алгебраическим уравнениям, которые можно решать последовательно (хотя часто удобнее одновременно решать несколько уравнений). В этой главе рассматривается также вопрос о том, сколь точно решение разностных уравнений приближается к решению исходной задачи. Для этого анализируется погрешность аппроксимации, устойчивость и согласованность разностных схем.

§ 3.2. Метод конечных разностей

Одним из первых шагов при применении метода конечных разностей к решению уравнения в частных производных является переход от непрерывной области к конечно-разностной сетке. Пусть, например, надо найти решение и{х,у) уравнения в частных производных в квадратной области О л: 1, О f/ 1. Введем сетку, т. е. будем рассматривать не и{х,у), а u{iAxyjAy). Положение точек (узлов сетки) внутри области определяется значениями величин /, /, поэтому разностные уравнения обычно записываются для произвольного узла (/,/), причем используются значения функции и в этом и соседних узлах сетки. Конечно-разностная сетка и используемые обозначения

показаны на рис. 3.1. Пусть j = и{хо, уо)у тогда

Щ+и = и{Хо + х, f/o), Ui ij = u{Xo-Ax, f/o),

/+1 = (ло, Уо + У), /-1 = и (л:о, Уо - Ау).

При решении маршевых задач номер узла сетки по маршевой координате обычно обозначается верхним индексом (например, Для каждого уравнения в частных производных существует множество его конечно-разностных аналогов, из которых обычно нельзя выбрать наилучший со всех точек зрения. В первую очередь при использовании метода конечных разностей надо стре-

Рис. 3.1. Пример конечно-разностной сетки.

миться к правильной аппроксимации уравнений поставленной задачи, а во вторую очередь выбрать «наилучшую» схему, т. е. оптимизировать ее, учитывая ее точность, экономичность, удобство программной реализации на ЭВМ и т. д.

Для того чтобы лучше понять идею конечно-разностной аппроксимации производных, вспомним определение производной от функции и{х,у) в точке (хо, f/o):

ди ,.

u{xQ + Xy уо) - и(хо, у о) да:

(3.1)

Если функция и{х,у) непрерывна, а Ал: - достаточно мало, но конечно, то значение разности [и {хо + Ах, уо) - и (хо, Уо) ] /Ах будет близко к значению производной ди/дх. Действительно, из теоремы о конечном приращении следует, что разностное значение производной равно производной искомой функции в некоторой точке интервала длины Ах. Формально проверить точность разностной аппроксимации производной можно, разложив функцию и в ряд Тейлора или по формуле Тейлора с остаточным членом. Выразим (хо + Ах, г/о) через значения функции и и ее

производных в точке (хо, уо):

и {хо + Ах, Уо) = и {Хо, Уо) +

+ ... +

дх""

(Ал:)" , д"и о («-1)1

дх"

Ч<К{Хо + Ах). (3.2)

Здесь последнее слагаемое - остаточный член. Применяя разности вперед (их часто называют «правыми» разностями), перепишем выражение (3.2) в виде

ди дх

и {хо + да:, уо) - и (лгр, уо) dhi x дх

о 21

Обозначив для краткости значение функции в узле (/, /) разностной сетки индексом /, /, получим

+ погрешность аппроксимации, (3.4)

где разность (i/,+i, / - /,у)/Аа:, очевидно, является конечно-разностным представлением производной {du/dx)i,j Погрешностью аппроксимации называется разность значений частной производной и ее конечно-разностного аналога. Можно характеризовать погрешность аппроксимации стандартным математическим обозначением порядка малой величины (О). Тогда последнее выражение можно переписать в виде

ди Тх

+ О (Ajc),

где О (Ах) имеет точный математический смысл. Представление погрешности аппроксимации в виде О (Ал:) обозначает, что погрешность аппроксимации по абсолютной величине не превосходит К\Ах\ при Ах-0 (для достаточно малых Але), причем К>0 - вещественная константа. Практически порядок погрешности аппроксимации в этом случае равен Ал: и является самой высокой степенью, общей для всех членов уравнения.

В общем случае выражение f{x)== 0{ф{х)) означает, что существует такая не зависящая от х константа /С, что /(а:)= /С(а:) для всех х из области 5, где / и - вещественные или комплексные функции л:, определенные в 5. В качестве области 5 часто выбирается область х-<оо (достаточно большие л:) или, как бычно бывает при использовании разностных методов, область х-0 (достаточно малые х). Подробно математическое обозначение символа О описано в учебнике Уитте-кера и Ватсона [Whittaker, Watson, 1927].