Отметим, что представление погрешности аппроксимации в виде О (Ах) ничего не говорит о величине погрешности, а лишь указывает на характер ее стремления к нулю. Если погрешность другой конечно-разностной аппроксимации производной равна О [(Ах)2], то можно ожидать, что во втором случае погрешность аппроксимации будет меньше, чем в первом. Это утверждение безусловно верно для достаточно малых Ах, но какое Ах будет «достаточно малым», определить заранее сложно.

Можно построить бесконечно много конечно-разностных аппроксимаций производной du/dx\ij. В качестве примера построим аппроксимацию этой производной с использованием разностей назад (их называют также «левыми» разностями). Запишем

и (хо - Ах, Уо) = «(ло, Уо)

Ах +

(Ах)2

(АхГ 6

(3.5)

После несложных преобразований найдем выражение, аппроксимирующее производную разностями назад

+ 0(Ах).

(3.6)

/,/ Ад:

Вычитая соотношение (3.5) из соотношения (3.2), получим аппроксимацию производной центральными разностями

2Дд:

+ 0[xf,

(3.7)

Складывая выражение (3.2) и (3.5), найдем конечно-разностную аппроксимацию производной второго порядка

Отметим, что приведенные примеры отнюдь не исчерпывают всех возможных конечно-разностных аппроксимаций производных первого и второго порядка.

Для сокращения записи удобно ввести разностные операторы. Будем называть разностным оператором первого порядка вперед по переменной х выражение

ДЛ,/ = «/+!,/(3.9)

Тогда конечно-разностную аппроксимацию вперед частной производной первого порядка можно записать в виде

ди Ufj ii - Ufi . . АЛ./ . V (3 10)

ди 17

+ 0(Ах) = -% + 0(Ах). (3.12)

Часто используют центральные разностные операторы б, б и 62:

M/,/ = "t + i,(3.13)

6xUl, / = Mt + l/2. / - /, (3.14)

flH i = \ (бЛ. /) = / - 2/. / + ".-1, / (3.15)

и оператор осреднения р,:

[1хЩ,1 =-2-•

Удобно ввести специальные операторы центральных разностей, хотя два из них легко выразить через разностные операторы вперед и назад первого порядка:

Mt,/ = AM/,/ + V;c«/,/, (3.17)

I = Д."/. / ~ V,,, = A,V,«, .. (3.18)

Используя введенные центральные разностные операторы, конечно-разностный аналог первой производной можно записать в виде

= 2~J-- + О {АхГ - + О {Axf. (3.19)

Аналогично аппроксимируется центральными разностями и вторая производная:

f- + О (Axf = -f + О (Axf. (3.20)

Аналогично записывается и конечно-разностная аппроксимация производной ди/ду:

Введем также разностный оператор первого порядка назад xHi = iJ-i-Ui- (3.11)

Используя его, можно записать конечно-разностную производную назад функции и в узле (/, /) разностной сетки в виде

Разностные операторы вперед и назад более высокого порядка определяются рекуррентными соотношениями

vX/ = Vx(vrV/).

(3.21) (3.22)

В качестве примера приведем конечно-разностную аппроксимацию вперед второй производной:

. +0(Дх).

(3.23)

Можно показать, что разностная аппроксимация вперед или назад производной любого порядка записывается в виде

(3.24) (3.25)

Центрально-разностная аппроксимация производной любого порядка, большего двух, выражается через операторы А, V и б. Более подробно применение разностных операторов описано в курсах вычислительной математики; см., например, [Hilde-brand, 1956].

Большинство уравнений в частных производных, встречающихся в гидродинамике и теплопередаче, содержат лишь частные производные первого и второго порядков, при этом для аппроксимации производных стараются использовать не более трех узлов разностной сетки. Поэтому на равномерной сетке (Ах = h = const) чаще всего применяют приведенные ниже конечно-разностные аппроксимации первых производных

+ о (A), + 0{h), + 0(П

(3.26) (3.27) (3.28)