дх ди

дх ди

Для трехточечной аппроксимации вторых производных на равномерной сетке (Ах = h = const) чаще всего используют соотношения

"1.1

дх ди

+ 0(Л),

+ о(П

(3.32) (3.33) (3.34) (3.35)

Остановимся подробнее на записанной (трехточечной компактной разностной аппроксимации производных с четвертым порядком точности (соотношения (3.31) и (3.35) [Orszag, Israeli, 1974]. Обозначив du/dx\i, j = vij, представим (3.31) в виде

(3.36)

В это соотношение интересующая нас производная vi, / входит неявно. Производную у/, / можно определить, зная uij, путем решения системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, которое проводится обычно весьма эффективно. К решению системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей сводятся многие маршевые задачи для уравнений в частных производных второго порядка, что будет обсуждаться далее в гл. 4. Здесь же достаточно представлять себе трехдиаго-нальную систему как конфигурацию, которая получается в слу-

(3.29) (3.30) (3.31)

Таблица 3.1. Конечно-разностные аппроксимации производных, использующие больше трех узлов разностной сетки

водная Конечно-разностная аппроксимация ние

дъ -д

дх дЧ IF" ди

дх ди

дх дЧ

-"..3,/ + "/.2./-5"i../ + 2"./0(,,) (3.40)

--2F >

(3.43)

чае, когда каждое разностное уравнение системы включает одну искомую функцию, вычисленную в трех смежных узлах разностной сетки. Соотношение (3.35) позволяет неявно выразить вторую производную du/dx\ij. Некоторые аппроксимации производных, в которых используется и более трех узлов разностной сетки, приведены в табл. 3.1. Для полноты несколько общих представлений смешанных частных производных приведено в табл. 3.2. Они будут полезны для схем, которые будут обсуждаться в последующих главах. Справедливость этих соотношений можно проверить, используя разложение функции и в ряд Тейлора для двух переменных:

и (хо + Ах, Уо + y) = u (хо, Уо) + (Ах + Аг/ и (Xq, Уо) + + (Ах + Ау)%(Хо + еАх,уо + вАу), О<0<1. (3.37)

Производная

Конечно-разностная аппроксимация

Уравнение

дх ду дЧ

дх ду дЧ

дх ду дЧ

дх ду дЧ

дх ду дЧ

дх ду

дЧ дхду

,,=(-""-"л;-")+°-»

,rM""%""-"-%"h<>-

/, / Дд: V 2Ау 2Ау

Ал: V 2Ау

дхду дЧ

дх ду

,/ 2АхК 2Ау 2Ау

.•,/2Л1

-1, /-1

~ "/-1. /-1

) + 0[А, (Д/П

(3.50) J + О [Ajc, (Ау)«1 (3.51)

.)+01(Ajc)2, (Аг/)2] (3.52) J + О [(Ал:)2, А ] (3.53)

.)+0[(Ajc)2, Ar/l (3.54)

§ 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений в частных производных

3.3.1. Погрешность аппроксимации

Анализ погрешности аппроксимации начнем с уравнения теплопроводности

-=сс. (3.55)

Используя разности вперед для аппроксимации производной по времени и центральные разности для аппроксимации второй

Таблица 3.2. Конечно-разностные аппроксимации смешанных производных