Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

- = wK+i-2"/(3.56а)

Как отмечено в § 3.2, погрешность аппроксимации уравнения (3.56а) определяется использованием разностей вперед по t и центральной разностной аппроксимации производных по х. Если в уравнении (3.55) член справа перенести в левую часть, а в правой части записать погрешность аппроксимации производных, то получим

ди дЧ а ,

-дГ- М --(AKVi-2/ + /i) +

. д*и

Здесь цифрами I, II, III обозначены исходное уравнение в частных производных, его конечно-разностный аналог и погрешность аппроксимации. Погрешность конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения определяется разложением в ряд Тейлора в окрестности одной и той же точки (в рассмотренном примере точки (п,/)).

Конечно-разностный аналог уравнения (3.56а) будем называть простой явной схемой решения уравнения теплопроводности. Разностная схема называется явной, если в каждое алгебраическое уравнение входит лишь одно неизвестное, которое с помощью этого уравнения может быть выражено через уже известные величины. Так как параболическое уравнение теплопроводности решает маршевую задачу, то начальное распределение и должно быть задано, поэтому значения функции и на п-м временном шаге можно считать известными. Если для аппроксимации второй производной в уравнении теплопроводности использовать значения функции и на {п + 1)-м временном шаге, то в каждое разностное уравнение, войдут три неизвестных. Такая схема называется неявной, так как одновременно приходится решать несколько алгебраических уравнений. Подробно различие явной и неявной схем будет рассмотрено в гл. 4.

Заключенное в квадратные скобки и обозначенное цифрой III слагаемое в правой части соотношения (3.56Ь) называется погрешностью аппроксимации уравнения теплопроводности и определяется как разность между исходным уравнением в частных производных и его конечно-разностным аналогом. Отметим, что при вычислении погрешности использованы лишь первые

производной, получим аппроксимацию для уравнения теплопроводности



Главный член погрешности аппроксимации этой схемы, вычисленный с использованием ряда Тейлора, равен

а ди

/А 42 f V 1 дЧ ,д 2

12 дх*

Схема удовлетворяет условию согласованности, если

Иш ()=0.

Если же при измельчении сетки выполняется условие At/Ах = ==Р, то схема Дюфорта -Франкела согласована не с исходным

члены ряда Тейлора. Порядок погрешности аппроксимации в этом случае равен 0(Д/)+0[(Ajc)2] , который часто для краткости записывают в виде 0[А, (Ах) 2]. Применяя численные методы, мы решаем лишь разностные уравнения и надеемся, что погрешность аппроксимации мала. Может быть, на первый взгляд такой подход не вызывает сомнений, но если задуматься, то сразу возникает ряд вопросов. Например, где гарантия, что, решая разностные уравнения маршевым методом, мы получим значения, достаточно близкие к решению исходного уравнения в частных производных? На этот вопрос можно ответить утвердительно, лишь если разностная схема удовлетворяет условиям согласованности и устойчивости.

3.3.2. Согласованность разностных схем

Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных. Напомним, что погрешностью аппроксимации называется разность между дифференциальным уравнением и его конечно-разностным аналогом, поэтому условием согласованности разностной схемы является стремление к нулю погрешности аппроксимации при измельчении сетки. Это условие безусловно выполняется, если погрешность аппроксимации убывает при измельчении сетки, т. е. если погрешность аппроксимации имеет порядок О (АО, О (Ах) и т.д. Однако если порядок погрешности аппроксимации равен, например, О {At/Ах), то схема будет согласованной лишь в том случае, когда измельчение сетки проводится в соответствии с условием At/Ax-0. В качестве примера рассмотрим схему Дюфорта - Франкела [DuFort, Frankel, 1953] для уравнения теплопроводности



- = Тлиг (uU - 2а? + uUl (3.58)

2 (Ад:)2

безусловно неустойчива и, следовательно, непригодна для численных расчетов, несмотря на то что она выглядит более точной, чем ранее приведенные схемы.

Иногда на неустойчивость схемы указывает физическая нереальность следующих из нее результатов, т. е. неустойчивая разностная схема неправильно описывает физические процессы. Покажем это на примере явной схемы для уравнения теплопроводности (3.56а). Введя параметр г = аМ/{х), преобразуем уравнение (3.56а) к виду

"Г - г + и- {) + (1 - 2г) U-, (3.59)

уравнением, а с гиперболическим уравнением ди , о 2 ди дЧ

3.3.3. Устойчивость разностных схем

Понятие счетной устойчивости строго применимо лишь при решении маршевых задач. Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага к другому. Обычно для достижения устойчивости разностной схемы требуется намного больше времени и энергии, чем для достижения ее согласованности. Проверить условие согласованности разностной схемы нетрудно, кроме того, обычно оно выполняется автоматически, т. е. вытекает из использованного метода построения разностной схемы. Устойчивость - свойство более тонкое, и обычно приходится хорошо потрудиться для аналитического доказательства устойчивости разностной схемы. Методы анализа устойчивости разностных схем мы подробно опишем в § 3.6. Большинство этих методов применимо лишь к линейным уравнениям в частных производных, однако полученные для линейных уравнений результаты позволяют анализировать устойчивость численного решения нелинейных уравнений.

Используя эти соображения, ниже покажем, что схема Дю-форта -Франкела (3.57) безусловно устойчива, тогда как простая явная схема устойчива лишь при условии, что г = = [aAt/{Ax) 1/2. Это условие ограничивает шаг по маршевой координате (времени), если размер шага по пространственной координате задан.

Схема, использующая центральные разности по времени с погрешностью аппроксимации порядка 0[{At), (Ал:)],



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124