-+-f-"

Рис. 3.2. Противоречащее законам физики изменение температуры при г = 1.

может на (ai+1)-m шаге по времени превышать 100 °С, а из уравнения (3.59) следует, что при г = 1 эта температура равна 200 °С.

3.3.4. Сходимость решения маршевых задач

Выполнения условий устойчивости и согласованности достаточно для сходимости разностной схемы. Под сходимостью в данном случае понимается стремление решения конечно-разностного аналога уравнения в частных производных к решению исходного уравнения (для одинаковых начальных и граничных условий) при измельчении сетки. Для линейных уравнений в частных производных доказана теорема Лакса (см. [Richtmyer, Morton, 1967]), которую мы приведем без доказательства.

Теорема Лакса об эквивалентности, Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных производных является выполнение условий согласованности и устойчивости.

Необходимо отметить, что во многих работах по вычислительной математике предполагается справедливость этой теоремы для нелинейных уравнений в частных производных, хотя для таких уравнений эта теорема не доказана.

3.3.5. Погрешность округления

Любое численно полученное решение, даже так называемое точное аналитическое решение уравнения в частных производных, зависит от ошибок округления, связанных с конечным

Пусть в момент времени t = M/ i = 100°С, а w = 0°C (рис. 3.2). Если г > 1/2, то температура в узле / на (ai + 1)-м шаге по времени будет выше температуры в соседних узлах в момент времени ai, но это физически невозможно, так как тепло передается от более теплого тела к более холодному, а не наоборот. С физической точки зрения температура в узле / не

ZOOC

ЧИСЛОМ знаков, используемых при арифметических операциях. Возникающая при этом погрешность называется погрешностью округления. Она может оказать существенное влияние на решение конечно-разностных уравнений, так как получение этого решения обычно связано с выполнением большого числа однотипных арифметических операций. В ряде случаев погрешность округления пропорциональна числу узлов разностной сетки, поэтому измельчение сетки, снижая погрешность аппроксимации, может увеличивать погрешность округления.

Напомним, что погрешностью аппроксимации называется погрешность, возникающая при замене уравнения в частных производных его конечно-разностным аналогом. Она равна разности точных (без учета погрешностей округления) решений исходного дифференциального уравнения и его конечно-разностного аналога. Следовательно, погрешность полученного на ЭВМ решения уравнения в частных производных равна сумме погрешностей аппроксимации и округления. Точность численного решения уравнения в частных производных определяется погрешностью аппроксимации не только самого уравнения, но и граничных условий.

3.3.6. Стационарные задачи

В предыдущих разделах основное внимание было уделено исследованию устойчивости и сходимости маршевых задач (гиперболических и параболических уравнений в частных производных). За исключением задачи с начальными данными, большинство полученных результатов без изменения переносится на стационарные задачи, кроме понятия устойчивости разностной схемы. Однако следует заметить, что понятие согласованности применимо к разностным схемам решения уравнений в частных производных любого типа.

Сходимость разностной схемы к точному решению уравнения в частных производных можно рассматривать как сходимость по ошибкам аппроксимации и сходимость по ошибкам округления. При конечно-разностном решении стационарных задач (уравнений эллиптического типа) систему алгебраических уравнений необходимо решить лишь один раз, тогда как в случае маршевых задач одну и ту же систему алгебраических уравнений приходится решать на каждом шаге по маршевой координате. Следовательно, непосредственно применить введенное ранее определение устойчивости разностей схемы к стационарным задачам нельзя. Для сходимости разностной схемы решения стационарной задачи по ошибкам округления достаточно потребовать ограниченности погрешности округления при измельчении сетки.

Часто при решении стационарных задач применяются итерационные методы (например, метод Гаусса -Зейделя), поэтому необходимо определить условия сходимости итерационного процесса. Обычно предполагают, что итерационный процесс сошелся, если во всех узлах разностной сетки отличие значений искомых функций на итерациях с номерами (k + I) и k пе превосходит некоторой заранее заданной малой величины, т. е. если ufy - . I < 8 ДЛЯ всех /, /. Это называется сходимостью итерационного процесса. По-видимому (доказательство этого утверждения нам не известно), сходимости разностной схемы по ошибкам округления достаточно для согласованности этой схемы при решении стационарных задач, если только удается доказать сходимость итерационного процесса при любом измельчении сетки.

Если для решения систем алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации стационарных задач, применяют прямые (не итерационные) методы, то необходимо лишь проверить, что возникающие при расчете погрешности, в первую очередь погрешность округления, остаются ограниченными как при любом измельчении сетки, так и при стремлении числа узлов сетки к бесконечности.

В заключение этого раздела отметим, что итерационный метод решения стационарных задач во многом аналогичен маршевому методу решения задач с начальными данными, поэтому вопросы сходимости итерационных процессов при решении стационарных задач и устойчивости разностных схем для решения маршевых задач близки между собой.

3.3.7. Дивергентная форма записи уравнений в частных производных и консервативность разностной схемы

В этом разделе мы обсудим две разные проблемы. Первая из них относится к форме записи уравнений в частных производных. Уравнение в частных производных записано в «дивергентной форме», или, что эквивалентно, в «консервативной форме», если коэффициенты при производных являются либо константами, либо функциями, производные которых в уравнение не входят. Обычно уравнения в частных производных, описывающие законы сохранения, записываются в дивергентной форме тогда, когда в них явно входит дивергенция той величины, для которой этот закон формулируется. Например, дивергентная форма уравнения неразрывности (описывающего закон сохранения массы) имеет вид

+ + + 0. (3.60)