3.4.1. Разложение функций в ряд Тейлора

В этом разделе мы покажем, как можно формально получать конечно-разностные выражения, удовлетворяющие заданным условиям, используя для этого ряды Тейлора. Пусть мы хотим построить конечно-разностную аппроксимацию производной ди/дх\и, имеющую погрешность аппроксимации О (Ax) 2, используя лишь значения w, 2, /, Ui-\, /, /. Проще всего для этого представить w, 2, / и Щ-х, j с помощью ряда Тейлора для функции и в точке /) и попытаться выразить из полученных соотношений производную du/dx\i,i с требуемой точностью:

-1,/ = / + дЧ

дх ди

3! -Г . . . ,

/ к \ i дЧ

{2AxY

(3.64)

(3.65)

Требуемую конечно-разностную аппроксимацию удается часто получить путем наблюдения или простой подстановкой. Чтобы произвести подстановку, выразим производную du/dx\i,j из соотношения (3.64); тогда

ij 2 Ах

±±1 + Ах + 0(АхГ

Порядок аппроксимации О (Ал:) определяется членом (ди/дх)АХу содержащим вторую производную. Подставляя ди/дх- из соотношения (3.65), получаем требуемую аппроксимацию производной ди/дх. Иногда для построения конечно-разностной аппроксимации используют более формальный подход. Для этого сложим умноженное на а уравнение (3.64) с умноженным на b уравнением (3.65). При -2а -6= 1 коэффициент при {du/dx\i, i)Ax будет равен I, а при 2а+ 6/2 = О члены, содержащие du/dx\i,j и обусловливающие погрешность аппроксимации 0(Дх), будут из уравнений исключены. Решая систему уравнений

-2а-6=1, 2а + Ь/2 = О,

находим, что а - 1/2, Ь = -2. Итак, если сложить умноженное на 1/2 уравнение (3.64) с умноженным на -2 уравнением (3.65) и разрешить полученное уравнение относительно 5w/5x г,/,

ТО получим требуемую аппроксимацию производной

i,j-l

совпадающую с (3.30). Если внимательно рассмотреть детали этого примера построения конечно-разностной аппроксимации производной, то мы увидим, что при разложении функций в ряд Тейлора действительно необходимо выписать члены, содержащие производную ди/дх \/, так как если бы эти члены в результате проведенных арифметических операций сократились, то разностная аппроксимация производных имела бы порядок 0(Ал:). Такое благоприятное сокращение содержащих высшие производные

членов встречается достаточно часто, поэтому мы обращаем на него особое внимание.

Следует заметить, что иногда приходится проделывать процедуру, обратную описанной. Пусть аппроксимация (3.30) получена каким-то другим методом, а мы хотим исследовать ее согласованность и точность. Для этого следует подставить в конечно-разностную аппроксимацию производной вместо величин /-2,/ и Ui-i,i их разложения в ряд Тейлора (3.64) и (3.65). Тогда правая часть окажется равной сумме производной du/dx\i,j и погрешности аппроксимации. Зная погрешность аппроксимации, можно проверить и условие согласованности, т. е. узнать, стремится ли погрешность аппроксимации к нулю при Дл:->0.

Рассмотрим несколько более сложный пример. Найти конечно-разностную аппроксимацию производной ди/ду в точке (/,/), имеющую погрешность аппроксимации 0{Ау), используя заданные на неравномерной сетке значения Uij, Ui,j+u j-u Примем обозначения Аг/+ = yt /+i - f , /, Ay = f/,, / - у,, / i (рис .3.3).

Напомним, что на равномерной сетке (Af/+= Af/ = Ау) центрально-разностная аппроксимация первой производной равна полусумме односторонних разностных производных вперед и назад:

2y 2y -г[КУ)\

Рис. 3.3. Обозначения, исполь зуемые при расчетах на нерав номерной по у сетке.

Мы желаем знать, можно ли достичь второго порядка точности на неравномерной сетке, взяв геометрически взвешенное среднее

ij a(a+l)Ar/

(3.69)

Последнее соотношение можно привести к виду (3.66).

Мы показали, как, используя разложение функций в ряд Тейлора, строить конечно-разностные аналоги отдельной производной. Но нас в основном интересует построение конечно-разностного аналога всего заданного уравнения в частных производных, обеспечивающих его аппроксимацию во всех точках заданной области. Поэтому все члены уравнения надо расклады-

односторонних разностных производных с весами, пропорциональными шагам разностной сетки:

(3.66)

Справедливость этого соотношения может показаться некоторым очевидной, однако это можно проверить, разложив функцию и в ряд Тейлора в окрестности точки (/,/). Полагая а = Ау+/Ау-и используя для сокращения записи обозначение дифференцирования при помощи индексов {uy = du/dy\ij, Uyy = du/dy\i, j и т. д.), получим

(а Лг/ )2

= , + ио. Ау + иу-2-+

+ ууу + уууу + •. • (3.67)

/ 1 = / + У-) + %у+

+ ууу + уууу ЦК + • • • • (3.68)

Как и раньше, сложим умноженное на а уравнение (3.67) с умноженным на b уравнением (3.68) и выразим из полученного уравнения du/dy\i,i. Требование равенства единице коэффициента при члене da/dy\i jAy- приводит к соотношению аа - - 6 = 1. Чтобы порядок аппроксимации был не хуже, чем 0{АуУ, необходимо, чтобы коэффициент при члене, содержащем Цуу, был равен нулю, т. е. аа + 6 = 0. Решение этих двух алгебраических уравнений легко получается в виде а = 1/[а(а + + 1) ], 6 = -а/ (а + 1). Следовательно,

ди а X уравнение (3.67) + X уравнение (3.68) , (Д)2

Окончательно имеем