анализом обтекания невязким газом, так как мы хотим определить лишь распределение давления по передней поверхности цилиндра. Следовательно, наиболее подходящими для описания течения являются уравнения Эйлера, которые мы и выберем в качестве исходной системы газодинамических уравнений. Для решения этих уравнений необходимо сначала построить расчетную сетку в области между ударной волной и телом, как показано на рис. 1.4. Входящие в нестационарные уравнения Эйлера частные производные аппроксимируются в каждом узле сетки

-80 -60 -40 .-20 О Z0

0, град

60 80

Рис 1.3. Распределение давления по поверхности кругового цилиндра; О экспериментальное; - теоретическое;----численное.

ПОДХОДЯЩИМИ конечно-разностными выражениями. Полученные уравнения интегрируются по времени до тех пор, пока после некоторого достаточного числа шагов не выработается асимптотическое стационарное решение. Подробно этот подход будет рассмотрен в последующих главах книги. Получающиеся результаты [Daywitt, Anderson, 1974] показаны на рис. 1.3. Отметим, что они прекрасно совпадают с экспериментальными данными.

Сравнивая различные подходы, заметим, что численные методы свободны от ряда ограничений, накладываемых на экспериментальные методы для получения исходной для проектирования информации. В этом главное преимущество численных методов, которое в дальнейшем будет еще более важно. Идея экспериментального исследования состоит в получении требуемых характеристик на относительно дешевой небольшой модели

реального устройства. Однако, проводя такие исследования, не всегда удается смоделировать реальные условия работы прототипа на существующих экспериментальных установках. Например, сложно смоделировать большие числа Рейнольдса для летящего самолета, условия при входе в атмосферу или строгие условия, возникающие на некоторых рабочих режимах в турбо-машинах. Отсюда следует, что численные методы, не имеющие таких ограничений, позволят получать информацию, которую другими методами найти невозможно.

С другой стороны, применение численных методов также ограничено, в первую очередь быстродействием и памятью ЭВМ. Еще одно ограничение на применение этих методов связано с нашей неспособностью понять и математически смоделировать некоторые сложные явления. Ни одно из этих ограничений на возможность применения численных методов не является принципиально непреодолимым, а существующие в настоящее время тенденции позволяют строить оптимистические прогнозы о роли вычислительных методов в будущем. Из представленных на рис. 1.1 данных видно, что относительная стоимость расчета одного и того же течения уменьшилась за последние двадцать лет на три порядка; по-видимому, эта тенденция сохранится в ближайшем будущем. Многие

верят, что когда-нибудь аэродинамические трубы будут играть второстепенную роль по отношению к ЭВМ, так же как сейчас баллистические испытания играют второстепенную роль по отношению к расчетам при анализе траекторий (Chapman, 1975].

Некоторые преимущества и недостатки всех трех рассмотренных подходов показаны в табл. 1.1. В заключение следует заметить, что в некоторых ситуациях сложно провести границу между различными подходами. Например, модели турбулентной вязкости, которые обычно используются в расчетах, получаются на основе анализа результатов измерений. Аналогично многие теоретические методы, которые требуют численных расчетов, могут быть отнесены к численным методам.

Рис. 1.4. Расчетная сетка.

Подход

Преимущества

Недостатки

Экспериментальный

Теоретический

Численный

1. Получение наиболее близких к реальности результатов

Получение «чистой» информации общего характера, обычно в виде формул

Нет ограничений, связанных с линейностью Описание сложных физических процессов Описание эволюции течения во времени

1. Сложное оборудование

2. Проблемы моделирования

3. Коррекция измеренных значений

4. Сложность измерений

5. Стоимость

1. Ограничен простыми геометрическими конфигурациями и физическими моделями

2. Обычно применим лишь к линейным задачам

1. Погрешности округления

2. Проблема задания граничных условий

3. Стоимость ЭВМ

§ 1.3. Исторический обзор

Естественно, что история вычислительной гидромеханики тесно связана с историей развития ЭВМ. До конца второй мировой войны большинство задач решалось аналитическими и эмпирическими методами. До этого времени лишь отдельные пионеры применяли численные методы для решения задач. Расчеты выполнялись вручную и каждое отдельное решение получалось в результате очень большой по объему работы. С тех пор как были созданы ЭВМ, рутинная работа, связанная с получением результатов при численном решении, проводится довольно просто.

Когда появилась вычислительная гидромеханика или когда были созданы методы, которые можно без сомнения отнести к методам вычислительной гидромеханики, можно лишь предполагать. Большинство считает, что первой значительной работой в этом направлении была работа Ричардсона [Richardson, 1910], где была предложена итерационная схема решения уравнения Лапласа и бигармонического уравнения. Ричардсон провел вычисления для определения напряжений в каменной дамбе. Кроме того, он четко сформулировал различия между задачами, которые надо решать релаксационными методами, и задачами, которые мы называем маршевыми,

Ричардсон разработал релаксационный метод решения уравнения Лапласа. В этом методе все величины на новой итерации

Таблица 1.1. Сравнение различных подходов