§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 73 получим

T{i,!) = a, T{i+l,j) = a + bAx + c{Axy, T{i-l, j) = a-bAx + c{Axf. Решив эти уравнения, найдем

2 дх

Следовательно,

/ 2 Лд:

дЧ -д

Полученное выражение является точным, если зависимость температуры от X действительно описывается полиномом второго порядка. В общем случае мы лишь предполагаем, что полином второго порядка является хорошей аппроксимацией решения. Погрешность аппроксимации производной (3.73) можно определить подстановкой разложений в ряд Тейлора в окрестности точки (/,/) для r,vf 1. / и в (3.73). Она равна О (Ал:) 2, при-

чем в выражение для погрешности аппроксимации входят лишь производные температуры четвертого и более высоких порядков, которые равны нулю, если зависимость температуры от х описывается полиномом второго порядка.

Аналогично можно построить конечно-разностную аппроксимацию производной дТ/ду. Рассмотренный пример показывает, что при использовании интерполяции полиномами приходится произвольно выбирать ряд параметров, влияющих на погрешность аппроксимации уравнений с частными производными и вид разностной схемы, в том числе и используемый шаблон. Следовательно, этот метод не обладает какими-либо особыми преимуществами, гарантирующими, например, оптимальность или устойчивость разностной схемы (для маршевой задачи).

Пример 3.2. Предположим, что мы нашли решение конечно-разностного аналога уравнения энергии и определили распределение температуры вблизи твердой границы. Нам надо теперь определить тепловой поток к стенке, зная распределение температуры лишь в узлах разностной сетки. По закону Фурье тепловой поток через границу определяется выражением = = -кдТ/ду\у=о- Следовательно, для решения поставленной задачи необходимо заменить производную дТ/ду\ у=о ее конечно-разностным аналогом, используя значения температуры в узлах

разностной сетки, известные из решения уравнения энергии. Для этого можно воспользоваться интерполяционными полиномами, предполагая, что распределение температуры вблизи границы описывается полиномом какого-либо порядка, т. е, что оно линейное, параболическое, кубическое и т. д., причем значения полинома совпадают со значением температуры в узлах разностной сетки. Последнее условие позволяет определить коэффициенты полинома.

Например, пусть распределение температуры вблизи границы описывается полиномом второго порядка вида Т = а + by + су\

тогда дТ/ду\у=о = Ь. Если сетка равномерная (рис. 3.6), то

/\3/= const

ни Т,

1 -нк г.

Т2 = а + ЬАу + ст Т, = а + Ь{2Ау) + с{2\у)\

Из этих соотношений находим -ЗГ, + 4Г2-Гз

Рис. 3.6. Расположение узлов конечно-разностной сетки вблизи стенки.

Следовательно, тепловой поток к стенке аппроксимируется выражением

Естественно определить погрешность аппроксимации для производной дТ/ду\у==о. Для этого выразим Т2 и через paзлoжeJ ния температуры в ряд Тейлора в окрестности точки, лежащей на границе и подставим полученные разложения в конечно-разностную аппроксимацию для производной дТ/ду\у=о. Можно поступить и по-другому, учтя, что интерполяционный полином совпадает с первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора для температуры в окрестности точки у = 0. Выпишем полином второго порядка

Т = а + Ьу + су

и ряд Тейлора

Г = Г(0) +

оУ + -д

о 2! ду

ML о-З!

Таким образом, аппроксимация а + Ьу-\-су определяется первыми тремя членами, а погрешность аппроксимации Г -последним из выписанных членов ряда Тейлора и имеет порядок 0(А(/.). При определении производной дТ/ду\у=о проводится деление на Ау, поэтому порядок аппроксимации производной равен 0(Ау)2.

Пример 3.3. Пусть, как и в примере 3.2, уравнение энергии решается для распределения температуры вблизи стенки, только в этом примере задан тепловой поток на стенке в качестве граничного условия. Мы можем теперь использовать интерполяцию полиномами для определения температуры стенки, которая необходима для решения разностных уравнений во внутренних узлах сетки. Другими словами, если cjw -

-кдТ/ду\у=о задано,

надо определить Т при у = 0, т. е. выразить Ti через qw/k, Гг, Гз и т. д. Пусть вблизи стенки Т = а -{Ьу + су + dy, и пусть дТ/ду\у=.о = Ь = -qw/k задано. Наша цель состоит в определении Гь которое в рассматриваемом случае равно а. В соответствии с обозначениями рис. 3.6 имеем

Т = а-Ау + с (Ayf + d т\

Гз = а - (2 Ay) + с (2 Ayf + d{2 Ayf,

Т = а-(ЪАу) + с{Ъ Ayf + d (3 Ayf.

Эти три уравнения можно решить относительно а, с и d при заданных Тг, Тг, Та, q/k и Ау. Так как Г] = а, то, следовательно, поставленная задача решена:

= -i. (18Г2 - 9Гз + 2Т, + + О [{Ау)% (3.74)

Погрешность аппроксимации в выражении (3.74) можно определить, либо разложив температуру в ряд Тейлора в окрестности точки (/,/), либо заметив, что получившийся полином представляет собой усеченный ряд Тейлора.

В заключение обсуждения полиномиальной аппроксимации приведем некоторые выражения для значений функции на стенке и ее производной через значения самой функции. Эти выражения используются, например, для определения значения функции на стенке по заданному на стенке значению ее первой производной. Все приведенные в табл. 3.3 формулы получены при интерполяции искомой функции на равномерной сетке {Ау = h = const) полиномами не выше четвертой степени.