Таблица 3.3. Некоторые соотношения, полученные с использованием интерполяционных полиномов

Степень полинома

Выражение для функции или ее производной на стенке

Урав-*нение

ду Т.

i, i + l ~ i, i

0(h)

f О m

(3.75) (3.76) (3.77) (3.78)

(-nr. . + 18Г. - 9Г. + 2Г. .з) + 0 m

(3.79)

+ 0 m

(3.80)

J Г 11

л-от (3.81)

- 12Л

+ 0 (/i5) (3.82)

3.4.3. Интегральный метод

Для построения конечно-разностных аналогов уравнений в частных производных можно использовать интегральные методы, основанные на интегрировании этих уравнений. Рассмотрим уравнение теплопроводности

ди дЧ

(3.83)

Попробуем построить разностную схему путем интегрирования уравнения теплопроводности по / и л: в окрестности узла (ai, /) разностной сетки. Этот узел будем иногда также обозначать как точку (0,-0). Шаги разностной сетки обозначим Дх и А. Так как выбор области интегрирования произволен, то проинтегрируем уравнение (3.83) от to до + А и от хо -Ах/2 до Хо + Ах/2. Выбор интервала интегрирования от to - М/2 до и + А/2 приведет к абсолютно неустойчивой разностной

схеме. К сожалению, на этом этапе построения разностной схемы для решения уравнения в частных производных нельзя сказать, какие интервалы интегрирования целесообразно выбрать для обеспечения устойчивости численного метода. На этот вопрос можно ответить, либо проведя расчеты, либо проанализировав устойчивость уже построенной разностной схемы методами, описанными в § 3.6. Порядок интегрирования в каждой части уравнения выбирается так, чтобы использовать точные дифференциалы:

- Хо-Ах/2 to to /

Взяв точно внутренние интегралы, получим J [и {to + At, x)-u{toy x)]dx =

Хо-Ах/2

--Tl (• ) - It - (3-85)

Для вычисления оставшихся интегралов воспользуемся теоремой о среднем значении. Из этой теоремы следует, что для любой непрерывной функции f{y)

У\ +Ау

\ f{y)dy = f(y)Ay, (3.86)

где у - некоторое значение у из интервала У\ у у\ + Ау. В соответствии с этой теоремой любое у из указанного интервала позволяет получить приближенное значение интеграла от непр1ерывной функции:

5 f{y)dyf {у) Ау, У1 < у < г/1 + Ау.

Для дальнейшего упрощения интеграла (3.85) при помощи теоремы о среднем значении возьмем значение подынтегральной функции при х = Хо, а при вычислении интеграла в правой части - при t = to + At. Тогда получим

[и {to + At, Хо) - и {to, Хо)] Ах =

= а[(/о + Л/, Хо + 4)(/о + А о--)]а. (3.87)

Для выражения результата в алгебраической форме выразим производную dujdx через значения функции и в узлах разностной сетки. Для этого можно использовать уже известные нам аппроксимации, например центральные разности. С другой стороны, мы можем придерживаться чисто интегрального метода и на основе теоремы о среднем значении получим

«(/о + А/, л:о + Ла;) = ы(/о + А/, хо)+ \ -g-(/о + А/, л: «

л;»

И (/о + А/, д;о) + j (/о + Ч + ) Ал:. (3.88) Из последнего соотношения следует

II + Д/, ;со + ««о + А<.хо + Ад)-И<, + А<.до) (3 gg)

При вычислении интеграла в правой части (3.88) по теореме о среднем значении мы произвольно выбрали х = Хо + (средняя точка интервала), поэтому интеграл в правой части вычисляется приближенно. Найдя аналогично конечно-разностные аппроксимации остальных первых производных, получим конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности

\и (to + Хо) - и (0, Ч)] Ал: =

= {0 + Хо + Ах) 2и {to + А/, а:о) +

+ u(to + My Хо-Ах)]АЛ (3.90)

Обозначая значения функций в узлах индексами п, /, где п - номер шага по времени, а / - номер шага по пространственной координате, перепишем (3.90) в виде

T=WKI/-2"r + «/-)- , (3-91)

Последнее выражение совпадает с полностью неявной схемой для уравнения теплопроводности, приведенной в п. 3.4.1. Неявная разностная схема получена благодаря тому, что интеграл в правой части вычислялся по теореме о среднем при значении подынтегральной функции в момент времени to + А. Если бы при вычислении этих интегралов были использованы значения подынтегральной функции при t = to, то мы получили бы явную схему. Отметим, что при применении описанного в этом разделе метода построения разностных схем погрешность аппроксимации в явном виде не получается и должна быть найдена.