Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разпостпых схем 79 3.4.4. Метод контрольного объема

Метод контрольного объема принципиально отличается от уже рассмотренных методов построения разностных схем для уравнений в частных производных. Используя методы, основанные на разложении функций в ряд Тейлора, и интегральные методы, мы предполагали, что уравнения в частных производных корректно и в соответствующей форме описывают законы сохранения, поэтому при построении разностной схемы мы просто обращались к математическим средствам. При таком подходе физические законы сохранения применяются лишь при выводе уравнения в частных производных и никак не ипользуются при построении разностной схемы. В этом смысле разложение в ряд Тейлора и интегральные методы - формальные методы построения разностных схем для уравнений в частных производных.

При использовании метода контрольных объемов разностная схема строится на основе физических законов сохранения, следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных производных. Сначала этот закон сохранения формулируется словесно для некоторого контрольного объема, окружающего узел разностной сетки, а потом записывается математически с учетом дискретной сетки. Описанная процедура во многом похожа на ту, с помощью которой уравнения в частных производных выводятся из физических законов сохранения, не проводится лишь переход к пределу при стягивании контрольного объема в точку. Если уравнение в частных производных записано в дивергентной форме, то закон сохранения можно получить, интегрируя это уравнение по контрольному объему и используя формулу Гаусса -Остроградского. На практике метод контрольных объемов позволяет обычно строить более точные вблизи границ разностные схемы, чем другие методы. Возможно, это связано с тем, что этот метод сохраняет дискретную природу решения задачи на всех этапах построения разностной схемы.

В качестве примера рассмотрим двумерный установившийся процесс распространения тепла в твердом теле с постоянным коэффициентом теплопроводности. Как известно, распределение температуры удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа (3.72).

Решение задачл начнем с построения разностной сетки. Сначала расположим узлы сетки на границе расчетной области, так как температура границы входит в граничное условие. Затем разобьем всю область решения на контрольные объемы, каждый из которых содержит лишь один узел разностной сетки. Границы контрольных объемов удобнее всего проводить посредине между смежными узлами, хотя при этом узлы разностной



сетки окажутся в центрах контрольных объемов лишь в случае равномерной сетки, т. е. при Дл: = С\, Ау = Сг.

Рассмотрим сначала контрольный объем, не прилежащий к границе, например объем А на рис. 3.7. Так как рассматривается установившийся процесс, то суммарный поток тепла через границу контрольного объема А должен равняться нулю. Именно из этого закона сохранения выводится уравнение Лапласа для температуры, описывающее распределение температуры внутри области. Этот закон можно вывести также из исходного уравнения в частных производных, воспользовавшись теоремой Гаусса - Остроградского. По закону Фурье тепловой поток пропорционален градиенту температуры: q = -kTT, Следовательно, если k - константе, то уравнение (3.72) можно переписать в виде

V . q = V . (kVT) = 0.

Интегрируя это уравнение по контрольному объему и используя теорему о дивергенции Гаусса - Остроградского, получим

J J J V . (kVT) rf/? = 5 5 ikVT). n d5 = 0.

Интеграл в правой части описывает суммарный поток тепла через границу контрольного объема. Представляя этот интеграл в виде суммы потоков через все границы контрольного объема с центром в узле (/, /), получим


Рис. 3.7. Конечно-разностная сетка, используемая при решении уравнений методом контрольного объема; Гоо, h заданы на границе /.

\ и к дТ

г-1/2,/

ij-m

/,/+1/2

= 0.

Здесь 1/2 в нижнем индексе указывает на то, что соответствующая величина вычисляется в центре грани объема (посредине между узлами сетки). Законы сохранения энергии выполняются точно, если на границах для производных выбраны подходящие средние значения. Используя центральные разности, получаем

-\-kLx

= 0.



§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 81 Разделив это уравнение на МхАу, находим

-(МУ-+-Ш-- •

В последнем уравнении каждое из двух слагаемых совпадает с аппроксимацией вторых производных дЧ/дх и дЧ/ду, полученной ранее при помощи рядов Тейлора.

Рассмотрим теперь прилегающий к границе контрольный объем, обозначенный на рис. 3.7 буквой В, Пусть граничное условие для исходной (не дискретизированной) задачи имеет вид h{Too - Tij)=-kdT/dx\i,}, где (/,/) -точка на физической границе области, соответствующей границе контрольного объема В. Если бы применили метод разложения в ряд Тейлора для задания граничных условий, то нашим следующим шагом было бы построение конечно-разностного аналога производной (dT/dx)i,f, Аппроксимируя производные односторонними разностями вперед, граничное условие получаем в виде

л (Гсо - Т,, i) = - (Г,, I - Г,„,,). (3.93)

Следует заметить, что при применении метода контрольного объема необходимо обеспечить выполнение закона сохранения в прилегающем к границе объеме. Приравняем нулю суммарный поток тепла через границу:

2 ду

kAx дТ /,/+1/2 2 ду

= 0. (3.94)

t./-1/2

Применяя для аппроксимации производных центральные разности, получаем

»1(Г..,-,-г,,) ,3.95)

Разделив на приведем это соотношение к виду

hAy J. . Ау J. Ах .rj. .J. .

"Т" °° "лГ YAy **+ -

Эта запись граничного условия несколько отличается от записи граничного условия в виде (3.93), полученной при формальной



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124