дЧ W

Ajc(1 +а) 2

\ aAjc Ад: /

Ar/(l + P)V РАг/ Ау J

(3.100)

Разностную схему (3.99) можно построить, применив также разложение функций в ряд Тейлора. При использовании нерегулярных сеток построение разностных схем методом разложения функций в ряд Тейлора требует куда больше усилий, чем в случае равномерных сеток, тогда как применение интегрального метода на равномерной и неравномерной сетках требует примерно одного и того же объема аналитических вычислений. Для определения погрешности аппроксимации и проверки условия согласованности разностной схемы (3.99) необходимо все величины разложить в ряд Тейлора в окрестности узла (/,/). Мы предлагаем читателю проделать это в качестве упражнения. В качестве предупреждения напомним, что при аппроксимации вторых производных на равномерной сетке второй порядок погрешности аппроксимации получался вследствие сокращения членов рядов Тейлора для узлов с большим и меньшим номерами. На неравномерной сетке такое сокращение не происходит.

Если расчет проводится при примерно одинаковом числе узлов разностной сетки, следует ожидать, что метод 3 учета неравномерности сетки, вызванной формой границы, должен быть наиболее точным, так как уравнение в частных производных аппроксимируется в каждой внутренней точке (в отличие от метода 2) и положение границы не меняется (как в методе I).

Если на нерегулярной границе задана производная искомой функции (задача Неймана), то и в этом случае можно построить необходимую разностную схему, хотя алгебраические соотношения оказываются более сложными, чем в рассмотренном случае.

Если для аппроксимации производных в последнем соотношении воспользоваться центральными разностями, как это было сделано в п. 3.4.3, то получим следующий конечно-разностный аналог уравнения Лапласа:

+ (HdllZ :ihlZlldzL] - о (3 99)

+ Ау + Ау { Аг/ )- (3-99)

Используя это выражение для точек, прилежащих к нерегулярной границе (рис. 3.8), получим следующие конечно-разностные аналоги вторых производных:

3.5.2. Нерегулярные сетки, не связанные с формой границы

При расчете некоторых газодинамических течений для обеспечения требуемой точности часто приходится использовать сетки с мелким шагом вблизи твердой границы (стенки) или вблизи ударных волн, т. е. в тех областях течения, где градиенты параметров велики. Для экономии времени и памяти ЭВМ целесообразно использовать более грубую сетку вдали от этих критических областей. Следовательно, для решения задач следует использовать нерегулярные или переменные сетки. Их можно строить различными методами, укажем по крайней мере два из них.

1. Можно применить преобразование координат, переводящее неравномерную сетку в физических координатах в равномерную, при этом изменяется вид уравнения в частных производных. Этот метод мы подробно опишем несколько ниже.

2. Так же как в методе 3, рассмотренном выше, можно построить конечно-разностную схему, пригодную для решения уравнения в частных производных на неравномерной сетке. Этот подход ничем не отличается от ранее описанного, просто неравномерность сетки определяется не формой границы, а особенностями решения уравнения. В качестве примера укажем на разностную схему решения уравнения Лапласа (3.99).

3.5.3. Заключительные замечания

Цель данного раздела состояла лишь в том, чтобы в общих чертах показать некоторые проблемы, возникающие в задачах с нерегулярными границами при использовании неравномерных сеток, а также описать методы их решения. Наше описание этого вопроса ни в коем случае не претендует на полноту. Дальнейшее его изучение быстро приводит к специальным задачам. Хорошая педагогика предполагает, что мы сначала продвинемся вперед и рассмотрим весь «лес», а уж потом вернемся к изучению отдельного дерева. В дальнейшем мы рассмотрим некоторые вопросы использования неравномерных сеток в связи с решением конкретных задач гидродинамики и теплообмена.

Ряд простых примеров, иллюстрирующих методы построения разностных схем при задании на нерегулярной границе производной искомой функции, можно найти в работах [Forsythe, Wasow, I960; James et al., 1967; Allen, 1954].

Рис. 3.10. Схематическое изображение конечно-разностной схемы как управляемой системы.

Рассмотрим маршевую задачу. Пусть на ai-m шаге по времени начальные значения известны, а на (/2+ 1)-м шаге по времени значения этих величин надо определить. Разностный оператор можно тогда интерпретировать как «черный ящик» с некоторой передаточной функцией. Схематически такая интерпретация разностного оператора показана на рис. 3.10. Устойчивость такой управляемой системы определяется преобразованием исходных данных, проводимым «черным ящиком». Из теории управления известно, что управляемая система работает устойчиво тогда и только тогда, когда все нули характеристического полинома этой системы расположены в левой полуплоскости. Если это не так, то входной сигнал усиливается неправильно, а выходной сигнал бесполезен, так как он неограниченно растет. Теория устойчивости разностных схем изучает способ, которым разностный оператор преобразует начальные значения величин в их значения на следующем шаге по времени, и является центральной проблемой анализа устойчивости.

Начнем изучение устойчивости конечно-разностных схем с анализа простой явной схемы для уравнения теплопроводности

W («ж+ «?-.).

Решив это уравнение относительно получим

= «».+ а („;, - 2иЧ + „; ,). (3.101)

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем

Не любая согласованная конечно-разностная схема обеспечивает сходимость решения конечно-разностных уравнений к решению уравнения в частных производных. В соответствии с теоремой Лакса об эквивалентности (см. п. 3.3.4) такую сходимость решения обеспечивает лишь устойчивая разностная схема. В этой главе мы подробно рассмотрим теорию устойчивости конечно-разностных схем.

Понятие устойчивости конечно-разностных схем аналогично понятию устойчивости в теории управляемых систем. Передаточная функция в теории управляемых систем играет ту же роль, что и разностный оператор в вычислительной математике.