2 Да: V 2 J

(3.109)

Первое слагаемое в правой части есть среднее значение неизвестной на предыдущем шаге по времени, а второе - конечно-разностный аналог первой производной по пространству. Пусть и!} = ее. Подставляя это выражение в разностное уравнение, получим, что коэффициент перехода принимает вид

= cos р -- iv sin p.

Следовательно, схема Лакса устойчива при IcosP - iv sin PKl,

где параметр v = cAt/Ax называется числом Куранта. Так как квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов его вещественной и мнимой частей, то рассматриваемая конечно-разностная схема устойчива при

IvKl. (3.110)

чески нереальные значения температуры. Шаг At в этом примере был вдвое больше максимально допустимого условием устойчивости конечно-разностной схемы, поэтому решение резко росло. При a{At/Ax)-\/2 устойчивость рассматриваемой разностной схемы легко проверить. Следует заметить, что выражение (3.106) для коэффициента перехода можно получить при помощи подстановки разложения погрешности в ряд Фурье (3.104) в конечно-разностное уравнение. Мы предлагаем читателю проделать это в качестве упражнения.

Метод Неймана (или Фурье) применим и к анализу конечно-разностных схем решения уравнений гиперболического типа. В качестве примера рассмотрим одномерное волновое уравнение первого порядка

описывающего распространение волны, бегущей со скоростью с. Это уравнение имеет только одно семейство характеристик, являющихся решением характеристического уравнения xt = с. Общее решение уравнения (3.108) имеет вид

и{х-- ct) = const.

Это решение требует, чтобы начальные данные, заданные при t = О, без изменения переносились вдоль характеристик.

Лаке [Lax, 1954] предложил конечно-разностную схему первого порядка для решения уравнений такого типа:

Следовательно, и в этом случае устойчивость конечно-разностной схемы определяется соотношением шагов.по времени и пространственной координате. Условие (3.110) называется условием устойчивости Куранта - Фридрихса - Леей (КФЛ), которое подробно обсуждалось в связи со сходимостью и устойчивостью в исторически важной работе Куранта и др. [Coiirant et al., 1928], которую обычно рассматривают как основополагающую для развития современных численных методов решения уравнений в частных производных.

Коэффициент перехода, или, как его еще иногда называют, множитель перехода, для некоторой конечно-разностной схемы зависит от шагов сетки и волнового числа. Для конечно-разностной схемы Лакса коэффициент перехода имеет вид

G = cos р - /V sin р = I G I e = Vcos р + sin р e *е(-vtg З)

(3.111)

где - фазовый угол. Из последнего соотношения ясно, как коэффициент G зависит от числа Куранта v и параметра частоты р. Зависимость коэффициента G от этих параметров построена на рис. 3.12 при разных числах Куранта в фазовой плоскости. Тщательный анализ этих кривых позволяет сделать ряд интересных выводов. Фазовый угол в методе Лакса меняется от О для малых частот до -л для больших, что легко проверить, вычислив этот угол для обоих предельных случаев. При числе Куранта, равном единице, все гармоники распространяются без затуханий. При числах Куранта, меньших единицы, низкочастотные и высокочастотные гармоники меняются слабо, тогда как гармоники со средней частотой затухают довольно сильно. По представленным на рис. 3.12 кривым можно оценить и затухание по величине фазового угла.

Очень важно понять физический смысл условия КФЛ (3.110) для гиперболических уравнений. Рассмотрим волновое уравнение второго порядка

utt-c4,, = 0, (3.112)

Его характеристики имеют вид

X + ct = const = Ci,

X - ct = const = Co.

Решение в точке (x,/), как показано на рис. 3.13, зависит лишь от условий, заданных между пересекающимися в этой точке характеристиками. Следовательно, аналитическое решение в точке (х, /) зависит лишь от информации, содержащейся в области между характеристиками Ci и сг.

0.0 ОЛ 0.2 0.3 OA 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

-Ф/7Г

Рис. 3.12. Зависимость модуля коэффициента перехода от фазы при различных числах Куранта для схемы Лакса.

-x+ct =0.

Рис. 3.13. Характеристики одномерного волнового уравнения второго порядка.