дГ-дду

Конечно-разностный аналог рассматриваемого уравнения имеет вид

Условием устойчивости большинства явных схем решения гиперболических уравнений в частных производных является условие КФЛ, имеющее вид cAf/Ax I, т. е. то же условие, что и (3.110). Его можно представить в другой форме:

(А Ах)2< 1/:2.

Тангенс угла наклона характеристик dt/dx = ±\/с. Следовательно, условие КФЛ эквивалентно требованию, чтобы область зависимости аналитического решения лежала внутри области зависимости численного решения. Область зависимости численного решения может быть шире области зависимости аналитического решения, но не наоборот. Возможна и простая геометрическая интерпретация условия КФЛ: угол наклона прямых, соединяющих узлы (/± 1,л) и (/, л-4- 1), по абсолютной величине должен быть меньше угла, наклона характеристик. Условие КФЛ имеет физический смысл. На основе проведенных рассуждений можно ожидать, что численное решение будет ухудшаться, если слишком много излишней информации о течении учитывается в данной точке, т. е. если величина с {At/Ах) сильно отличается от единицы. При численных расчетах так и получается. При применении явных схем для решения гиперболических уравнений наиболее точные результаты получены для близких к единице чисел Куранта. Напомним, что к этому же выводу мы пришли при анализе коэффициента перехода в методе Лакса (см. рис. 3.12).

Прежде чем перейти к описанию методов анализа устойчивости конечно-разностных схем для решения систем уравнений в частных производных, приведем пример применения метода Неймана к анализу устойчивости конечно-разностных схем для решения уравнений с большим числом независимых переменных.

Пример 3.4. Определить условие устойчивости простой явной схемы для решения двумерного уравнения теплопроводности

ди дЧ . дЧ

dt дх

где Е и F -векторы, причем F = F(E). Обычно система уравнений является нелинейной, а методы анализа устойчивости

Здесь Гх - а(Д Дл2), а г/ = аЩ/Ау), Будем искать решение в виде суммы гармоник вида

Если Pi = kxAx, Р2 = kyAy, то

ам = 1 + 2г (cos Pi - 1) + 2гу (cos Р2 - 1).

Используя тригонометрическое тождество sin (,р/2) = (1 - - cosp)/2, для коэффициента перехода получим выражение

Следовательно, разностная схема устойчива при

I 1 - 4г sin (Pi/2) - 4гу sin2 (Р2/2) К 1,

т. е. при

4rsin2p/2 + 4ry sin2p/2<2.

Последнее условие выполняется лишь при Гх + Гу\/2, Возвращаясь к шагам разностной сетки, получим условие устойчивости в виде

аА[1/(Ад:)2+1/(А/)2]<1/2.

Это условие аналогично полученному в одномерном случае, хотя эффективный шаг по времени в двумерном случае оказывается меньше, чем в одномерном. В рассмотренном примере результат удалось получить довольно легко, но в большинстве случаев провести анализ устойчивости конечно-разностной схемы решения уравнения в частных производных очень трудно для более чем одной пространственной переменной и времени. Условие устойчивости удается часто определить, лишь вычислив коэффициент перехода для различных значений Гх и Гу.

3.6.2. Анализ устойчивости систем уравнений в частных производных

Описанный в предыдущем разделе метод Неймана может быть использован и для анализа устойчивости конечно-разностных схем решения систем уравнений в частных производных. Встречающиеся в газовой динамике и теплопередаче системы уравнений можно обычно записать в виде

Ж + ЫЫ = (3.114)

Обозначая матрицу Якоби [дР/дЕ] через [Л], получим

1 +И] 11=0.

Для линеаризации системы уравнений предположим, что матрица [А] остается неизменной, а вектор Е изменяется при расчете на одном шаге по времени. Аналогично поступают и при применении метода Неймана к анализу устойчивости одного нелинейного уравнения в частных производных.

Сначала проанализируем устойчивость метода Лакса решения системы уравнений в частных производных

еГ = т (tl + -Щ- И]") е/-. + т (т - г И]") е?+.. (3.115)

Здесь все обозначения имеют тот же смысл, что и раньше, а [/] -единичная матрица. Для анализа устойчивости применим метод Неймана. Подставляя любой член ряда Тейлора в (3.115), получим выражение вида

е«+1(/г) = [С(Д/, k)]e{k\ (3.116)

[G] = [/]cosP-/H]sinp, (3.117)

а е -коэффициент Фурье. Матрица [G] называется матрицей перехода, она зависит от шага по времени и частоты, т. е. [G] = [G{At, k)]. Если конечно-разностная схема устойчива, то максимальное собственное значение Отзх матрицы [G] должно удовлетворять условию

loTmaxKl, (ЗЛ18)

откуда следует, что разностная схема устойчива при

<1, (3.119)

где Jimax -максимальное собственное значение матрицы [Л], т. е. матрицы Якоби системы. Приведем простой, но важный пример.

Пример 3.5. Определить необходимое условие устойчивости метода Лакса решения системы уравнений в частных производ-

развиты лишь для линейных уравнений. Поэтому перепишем нашу систему в виде