ВЫЧИСЛЯЮТСЯ по значениям неизвестных на предыдущей итерации. В 1918 г. Либман предложил улучшенный вариант метода Ричардсона. В методе Либмана при каждом проходе разностной сетки используются значения неизвестных как на предыдущей, так и на текущей итерациях. Эта простая процедура «непрерывного замещения» неизвестной позволяет существенно уменьшить количество итераций, необходимых для решения уравнения Лапласа. Методы Ричардсона и Либмана часто приводят в элементарных курсах теплопередачи для того, чтобы показать, как небольшое изменение численного метода может существенно повысить его эффективность.

Иногда начало современного численного анализа (вычислительной математики) связывают с появлением знаменитой работы Куранта, Фридрихса и Леви [Courant, Friedrichs, Lewy, 1928). Часто встречающаяся в литературе аббревиатура КФЛ заменяет фамилии этих авторов. В их работе были поставлены вопросы о существовании и единственности решения уравнений в частных прризводных. Об огромной роли этой работы свидетельствует ее повторное опубликование в журнале IBM Journal of Research and Development в 1967 г. В этой работе впервые сформулировано условие КФЛ устойчивости разностных схем, используемых для численного решения уравнений в частных производных гиперболического типа.

В 1940 г. Саусвелл [Southwell, 1940] предложил релаксационную схему, которая широко использовалась при решении задач гидромеханики и строительной механики в тех случаях, когда требовалось улучшить сходимость релаксационной схемы. Его метод был создан для расчетов, проводимых вручную. Для применения его необходимо вычислить невязку во всех узлах разностной сетки и найти ее наибольшее значение. На следующем шаге релаксация начинается с узла, в котором невязка максимальна. В течение двух десятилетий на протяжении 1940-х и 1950-х гг. метод Саусвелла был первым численным методом, с которого студенты инженерных специальностей начинали изучение численных методов. В 1955 г. Аллеи и Саусвелл [Allen, Southwell, 1955] применили метод Саусвелла к решению задачи об обтекании цилиндра несжимаемой вязкой жидкостью. Решение было найдено вручную, что связано с проведением очень большой вычислительной работы. Полученные результаты дали дополнительную информацию о вязких течениях, первые результаты для которых начали появляться с середины 30-х годов.

В течение второй мировой войны и сразу после ее окончания многие исследования были посвящены применению численных методов к решению задач гидромеханики. Именно в эти годы

проф. фон Нейман создал свой метод анализа устойчивости разностных схем решения нестационарных (маршевых по времени) задач. Интересно, что Нейман в полном объеме свой метод не опубликовал. Метод Неймана был несколько позже подробно изложен в работе [OBrien, Hyman, Kaplan, 1950]. Последняя работа чрезвычайно важна, так как в ней описан практический метод анализа устойчивости, который понятен инженерам и научным работникам и мог быть ими использован. Метод Неймана-наиболее широко применяемый в вычислительной гидромеханике метод анализа устойчивости разностных схем. Примерно в то же время была опубликована статья Лакса [Lax, 1954]. Лаке разработал метод расчета газодинамических течений с ударными волнами, которые являются поверхностями разрыва газодинамических параметров. При этом для расчета ударных волн не требовалось задание каких-то дополнительных условий. Такие свойства схемы Лакса были обусловлены использованием дифференциальных уравнений, записанных в дивергентной форме.

Параллельно развивались методы решения эллиптических и параболических уравнений. Франкел [Frankel, 1950] предложил первый вариант метода последовательной верхней релаксации для решения уравнения Лапласа, который позволил существенно улучшить скорость сходимости численных методов. Писмен и Ракфорд [Feaceman, Rachford, 1955], Дуглас и Ракфорд [Douglas, Rachford, 1956] предложили новый класс неявных методов решения параболических и эллиптических уравнений, которые назвали неявными методами переменных направлений. При использовании этих методов шаг по времени не ограничен; они широко используются и в настоящее время.

Книги, посвященные отдельным вопросам вычислительной гидромеханики, начали появляться в конце пятидесятых - на чале шестидесятых годов. В ранней книге Рихтмайера [Richt myer, 1957] и более поздней Рихтмайера и Мортона [Richtmyer, Morton, 1967] освещены в основном вопросы, связанные с реше нием маршевых задач, а в книге Форсайта и Вазова [Forsythe, Wasow, I960] -с решением эллиптических задач. Быстрое раз витие вычислительной гидромеханики продолжалось и в шести десятые годы. В ранних работах расчет течений с ударными волнами пытались проводить ,либо по схеме Лакса, либо по схеме с искусственной вязкостью, предложенной Нейманом и Рихтмайером. Среди выполненных в Лос-Аламосской лаборатории ранних работ по вычислительной гидромеханике отметим работы по методам типа «частиц в ячейке», которые используют диссипативные свойства разностных схем для «размазывания»

ударных волн на несколько шагов разностной сетки [Evans, Harlow, 1957].

В I960 г. Лаке и Вендрофф [Lax, Wendroff, I960] предложили новый метод расчета газодинамических течений с ударными волнами, позволяющий строить разностные схемы второго порядка точности, существенно меньше размазывающие ударные волны, чем использовавшиеся ранее конечно-разностные методы. Предложенный Мак-Кормаком [MacCormack, 1969] вариант этого метода является и сейчас одним из наиболее популярных методов расчета течений с ударными волнами. Чтобы избежать размазывания скачков уплотнения, можно использовать разностные схемы с выделением скачков. Одной из ранних была работа Гари [Gary, 1962], вкоторой этот подход использован для расчета движущихся скачков. В работах Моретти с соавторами [Moretti, Abbett, 1966; Moretti, Bleich, 1968] схемы с выделением скаяков применены для расчета многомерного сверхзвукового обтекания с ударными волнами тел различной формы. Одна из первых схем с выделением скачка описана Гихт-майером и Мортоном. И сегодня для рачета течений с ударными волнами используются разностные схемы как с выделением, так и с размазыванием скачков.

В последние пятнадцать лет прогресс в вычислительной гидромеханике продолжался, а количество исследователей, работающих в этой области, увеличивалось со все возрастающей скоростью. Поэтому трудно дать краткий обзор истории этого периода и указать всех, чей вклад был значителен. Для интересующихся этим вопросом мы рекомендуем работу Холла [Hall, 1981], в которой подведены итоги развития вычислительной гидромеханики начиная с 1950 г. В заключение отметим еще три работы, целью которых было проинформировать мировую научную общественность о достижениях вычислительной гидромеханики. Работы [Macagno, 1965} и [Harlow, Fromm, 1965] были опубликованы во французском журнале La Houille Blanche и в американском журнале Scientific American соответственно. В них объяснена полезность численных методов для решения задач гидромеханики и приведен ряд численных примеров, иллюстрирующих достигнутые результаты. В более поздней работе Левина [Levine, 1982], опубликованной в журнале Scientific American, рассмотрены потенциальные возможности численных методов. Как и предыдущие работы, она ускорила знакомство научной общественности с состоянием вычислительной гидромеханики и нового поколения ЭВМ.