И собственные значения имеют вид

/ = cos{/-l) + /vsin-(/-l).

(3.127)

Итак, конечно-разностная схема устойчива при v 1, т. е. при выполнении условия КФЛ. Это показывает, что матричный анализ устойчивости схемы Лакса привел к тем же результатам, что и метод Неймана для простого волнового уравнения. При периодических граничных условиях матричный метод и метод Неймана приводят по существу к тождественным результатам. Проиллюстрируем влияние граничных условий и разностной сетки на другом примере.

Пусть, как и в предыдущем примере, метод Лакса применяется к решению одномерного линейного волнового уравнения первого порядка. Ограничимся случаем, когда для решения уравнения используются лишь четыре точки по пространственной координате. В первой и четвертой точках зададим граничные условия. Предположим для простоты, что в первой точке величина и постоянна для всех времен, тогда граничное условие можно записать в виде и- = и. Так как мы ищем решение волнового уравнения, то граничное условие в четвертой точке на правом конце не может быть произвольным, а должно быть согласовано с направлением распространения волны. Зададим его в виде mJ+=mJ, т. е. будем определять значение функции и на границе по ее значению во внутреннем узле сетки на предыдущем слое. При таких граничных условиях матрица [Х] имеет вид

10 0 0

1+V 2

1 -у 2

1 -у

Собственные значения этой матрицы легко вычисляются. Они равны

Я, = 1, Я2 = 0, A3,4-±4-V(l-v)(3 + v).

Условие 1 приводит к тем же ограничениям на v, что и

условие КФЛ: v= 1.

В рассмотренном примере граничные условия не изменили условия КФЛ устойчивости схемы. Однако граничные условия обычно изменяют условия устойчивости и этого следует ожидать.

{AxY

+ О (Лх).

3.2. Рассмотрите функцию f(x)=e. Определите на сетке с шагом Дл: = 0.1 производную У(х) при л: = 2, используя разности вперед (3.26), центральные разности (3.28) и трехточечную аппроксимацию второго порядка (3.29). Сравните полученные результаты с точным значением производной. Повторите вычисления при ts.x = 0.2. Правильно ли описывает точность аппроксимации производной порядок погрешности аппроксимации? Проанализируйте полученный результат.

3.3. Проверьте, является ли консервативной конечно-разностная схема для уравнения неразрывности двумерного стационарного движения несжимаемой жидкости

2Ах Дг/

где Uy V - составляющие скорости по осям х и у соответственно.

3.4. Задание то же, что и в задаче 3.3, по для разностной схемы

(«г1,/->,1,/) (/fl-/-l)

2Ах 2Ау

3.5. Рассмотрите нелинейное уравнение

ди ди

с постоянным коэффициентом [х.

(а) Записано ли оно в дивергентной форме? Если нет, то можете ли вы записать его в дивергентной форме?

Ясно, что матричный метод анализа устойчивости разностных схем учитывает заданные на сенсе граничные условия. Это означает, что при матричном методе анализа влияние граничных условий автоматически учитывается. К сожалению, определить аналитически собственные значения матриц при произвольно заданных граничных условиях обычно не удается.

В этом разделе проведен анализ устойчивости конечно-разностных схем при помощи метода Фурье (метода Неймана) и матричного метода. Эти два метода широко применяются для анализа устойчивости разностных схем. Однако разработаны и часто используются и другие методы. В этой связи укажем на работы [Hirt, 1968] и [Warming, Hyett, 1974]. Наиболее всесторонний математический анализ устойчивости конечно-разностных схем с доказательством многих теорем изложен в монографии Рихтмайера и Мортона [Richtmyer, Morton, 1967].

Задачи

3.1. Покажите, что

ду 2Ау

Чему равен порядок погрешности аппроксимации?

3.13. Найдите на равномерной сетке погрешность аппроксимации производной

1 М/, /

,,,2Л i+52/б

3.14. Используя разложение функций в ряд Тейлора в окрестности точки (rt-f 1/2,/), определите погрешность аппроксимации схемы Кранка - Николсона решения уравнения теплопроводности (3.71). Сравните найденную погрешность аппроксимации с полученной при разложении функций в ряд Тейлора в окрестности точки («,/).

3.15. Постройте на неравномерной сетке конечно-разностный аналог производной дТ/ду в точке (/,/), имеющий погрешность аппроксимации 0{AyY,

используя Ti, /. Tl, /+ь Tl, /+2.

3.16. Определите погрешность аппроксимации в точке (/, /) приведенной ниже конечно-разностной аппроксимации производной ди/дх на неравномерной сетке:

1,1 Ax {AxJAx y + Ax

3.17. Пусть из решения разностных уравнений нам известно распределение температуры вблизи адиабатической стенки (т. е. граничное условие

(Ь) Постройте конечно-разностный аналог этого уравнения, используя интегральный метод.

3.6. Проверьте конечно-разностную аппроксимацию (3.50) для производной дЧ/дхду.

3.7. Проверьте конечно-разностную аппроксимацию (3.40) для производной дЧ/дх.

3.8. Проверьте соотношение (3.79) в табл. 3.3.

3.9. Проверьте соотношение (3.80) в табл. 3.3.

3.10. Проверьте следующую конечно-разностную аппроксимацию дифференциального оператора в точке (е, /) при х = Ау = h:

дЧ дЧ / + 1,7-1 + 1 +"/-1, / + 1 -

Ix + W---+ 0{h).

3.11. Постройте в точке (/,/) конечно-разностную аппроксимацию производной дЧ/ду на неравномерной сетке с погрешностью аппроксимации О (Л«/), используя м/,/, м/,/+ь Ш, f-u Примените метод разложения функций в ряд Тейлора. Можете ли вы на неравномерной сетке построить трехточечную аппроксимацию этой производной со вторым порядком точности? Прежде чем ответить на этот вопрос, подумайте о возможности компактной неявной записи производной.

3.12. Найдите погрешность аппроксимации в точке (/,/) конечно-разностной аппроксимации производной ди/ду на равномерной сетке