имеет вид дТ/ду=0)у но значение температуры на самой стенке мы не знаем (рис. 3-3.1). Однако во многих случаях нам необходимо определить именно температуру стенки. Определите температуру адиабатической стенки по "значениям температуры Гг, и т. д. во внутренних узлах сетки, предполагая, что вблизи стенки температура (а) меняется линейно, (Ь) описывается полиномом второго порядка; (с) описывается полиномом третьего порядка (укажите лишь, как вы будете строить этот полином). С какой точностью

Рис. 3-3.1.

в каждом из этих случаев будет определена величина температуры стенки Ti?

3.18. Рассмотрим задачу определения стационарного поля температуры с теплоотдачей на границе (рис. 3-3.2). В этом случае поле температуры они-

Z о 1

Рис. 3-3.2.

сывается уравнением Лапласа, а граничное условие имеет вид -кдТ/ду\ = = h{Tw - Too). Простейшая конечно-разностная аппроксимация этого граничного условия имеет вид

-тт, - Т)/Ау] + 0- (Ау) = Л (Го - Гоо).

Определите граничное условие в лежащей на границе точке О, используя метод контрольного объема. Найдите погрешность аппроксимации, предполагая, что уравнение Лапласа выполняется на границе.

3.19. Процесс распространения тепла описывается уравнением дТ/dt = = а{дЧ/дх), Используя метод контрольного объема, постройте конечно-разностный аналог этого уравнения на неравномерной сетке.

3.20. Рассмотрим установившийся процесс распространения тепла в твердом теле в двумерном случае. Используя метод контрольного объема, полу-

Здесь Cm - коэффициенты Фурье начального распределения температуры, а - коэффициент перехода. Проверьте, совпадает ли полученное выражение для gtn с (3.106). Рассмотрите вопрос о сходимости разностной схемы, воспользовавшись для этого теоремой Лакса.

3.23. Используя метод Неймана, покажите, что если для аппроксимации производных по пространству применяются центральные разности, то явный метод Эйлера решения одномерного волнового уравнения неустойчив. Разностные уравнения в этом случае имеют вид

Покажите, что аналогичный неявный метод

„«+1 „п+1

устойчив.

3.24. Найдите необходимые условия устойчивости конечно-разностной

схемы

2М (Ах)

получающейся при решении уравнения теплопроводности методом Дюфор-та--Франкла.

3.25. Покажите, что условие КФЛ является условием устойчивости схемы Лакса - Вендроффа решения одномерного волнового уравнения первого порядка. Конечно-разностное уравнение в рассматриваемом случае имеет вид

"/ - "/ - 2А7 "~ "Z-* + 2(Ajc)» + ""i-y

чите в случае адиабатической стенки выражение для температуры границы изображенного на рис. 3.7 объема В.

3.21. Решите одномерное уравнение теплопроводности, используя для аппроксимации производных по времени разности вперед, а производных по пространству - центральные разности, если шаги по временной и пространственной координатам связаны соотношением а(Л Л;с) = 1/2. Используйте расчетную сетку из пяти точек, две из которых лежат на границе, а три - внутри области. Температура стенки нродполагастся постоянной и равной единице, а начальная температура - равной пулю. Проведите расчет для десяти шагов по времени. Сравните полученный вами результат с полученным в примере § 3.3.

3.22. Покажите, что коэффициент перехода разностной схемы решения уравнения теплопроводности (3.101) можно получить прямой подстановкой решения такого вида:

3.26. Определите необходимое условие устойчивости конечно-разностной схемы решения волнового уравнения с источииковым членом

ди ди

a + ku

при использовании центральных разностей по пространству и разностей вперед по времени. Имеет ли для таких уравнений физический смысл необходимое условие устойчивости Неймана (3.121).

3.27. Используйте матричный метод для исследования устойчивости схемы Лакса решения одномерного волнового уравнения первого порядка на сетке, состоящей из двух внутренних и двух граничных точек, причем предполагается, что граничные условия имеют вид wieft = 1, nght = 0.

3.28. Используйте матричный метод анализа устойчивости конечно-разностной схемы задачи 3.21 при решении уравнения теплопроводности на сетке, состоящей из пяти точек. Сколько гармоник надо ввести в этом случае?

3.29. Пусть конечно-разностная схема решения уравнения в частных про-

изводных имеет вид и

,«+1. /

[А] =

[А] где

М + V О

О -%

1+V,

Определите условие устойчивости этой схемы.