Глава 4

Применение методов конечных разностей для решения модельных уравнений

В этой главе описаны и подробно изучены различные конечно-разностные схемы, с помощью которых можно решать простейшие модельные уравнения. Мы ограничимся рассмотрением следующих модельных уравнений - волнового уравнения первого порядка, уравнения теплопроводности, уравнения Лапласа и уравнения Бюргерса. Эти уравнения называются модельными, так как они используются для изучения свойств решений более сложных уравнений в частных производных. Так, уравнение теплопроводности можно рассматривать как модельное для других параболических уравнений в частных производных, например уравнений пограничного слоя. Все рассматриваемые модельные уравнения имеют аналитические решения при некоторых граничных и начальных условиях. Зная эти решения, легко оценить и сопоставить различные конечно-разностные методы, используемые для решения более сложных уравнений в частных производных. Из множества существующих конечно-разностных методов решения уравнений в частных производных в этой главе описаны в основном такие методы, которые обладают свойствами, характерными для целого класса аналогичных методов. Некоторые из этих свойств нежелательны, однако в учебных целях мы рассматриваем и эти методы. Некоторые полезные для решения уравнений конечно-разностные методы не приведены, так как они аналогичны описанным в этой главе методам, а ограниченный объем книги не позволяет описать в ней все пригодные для практического использования методы.

§ 4.1. Волновое уравнение

Одномерным волновым уравнением называется следующее гиперболическое уравнение в частных производных второго порядка:

- г2- (4 1)

Это уравнение описывает распространение звуковых волн в однородной среде со скоростью с. Существует уравнение первого

порядка, свойства решений которого близки к свойствам решения уравнения (4.1):

f- + c-g- = 0. ОО.. (4.2)

Отметим, что уравнение (4.1) можно получить из уравнения (4.2). В этом параграфе в качестве модельного уравнения выберем уравнение (4.2), которое будем называть одномерным волновым уравнением первого порядка, или просто волновым уравнением. Одномерное волновое уравнение является линейным гиперболическим уравнением, описываюш,им распространение волны со скоростью с вдоль оси X. Оно в элементарной форме моделирует нелинейные уравнения, описывающие газодинамические течения. Хотя в этой главе мы будем называть уравнение (4.2) волновым уравнением, обратим внимание читателя на то, что обычно волновым уравнением называют уравнение (4.1). Соответственно уравнение (4.2) часто называют одномерным линейным уравнением переноса.

Точное аналитическое решение уравнения (4.2) с начальными данными

и (jc, 0) = F (х), ~оо < л: < оо, (4.3)

имеет вид

и{х, t)F{x-ctY (4.4)

Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения одномерного волнового уравнения первого порядка.

4.1.1. Явные методы Эйлера

Этот метод приводит к двум простым явным одношаговым разностным схемам

С погрешностью аппроксимации 0(А/, Дх) и 0(А, (Ах)) соответственно. Обе эти схемы имеют первый порядок аппроксимации, так как главный член в выражении для погрешности имеет первый порядок (А/ или Ал; для схемы (4.5) или А для схемы (4.6)). Разностные схемы (4.5) и (4.6) явные, так как в каждое разностное уравнение входит лишь одно неизвестное К сожалению, анализ устойчивости разностных схем (4.5) и (4.6) методом Неймана приводит к тому, что они обе абсолютно

Эта разностная схема имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации 0{М,Ах). Из условия устойчивости Неймана следует, что схема устойчива при

0<v<I, (4.8)

где V = cAt/Ax.

Подставим в (4.7) вмссю uj и uJ их выражения в виде ряда Тейлора. Тогда получим

+ {/-[?"А..: +...]} =0. (4.9)

После несложных преобразований уравнение (4.9) приводится к виду

(4.10)

В левой части последнего равенства записано исходное волновое уравнение, а в правой - погрешность аппроксимации, которая обычно отлична от нуля. Значение членов, входящих в погрешность аппроксимацьч!, можно лучше понять, если заменить производные по времени производными по пространству. Для этого выразим производную а а через производную по х. Дифферен-

неустойчивы и, следовательно, для численного решения волнового уравнения непригодны. Перейдем теперь к описанию более полезных разностных схем.

4.1.2. Метод использования раз[!0стей против потока

Простую 1вг1ую схему (4.5) (метод Эйлера) можно сделать устойчивой, если при аппроксимации производной по пространству использовать не разности вперед, а разности назад в тех случаях, когда скорость волны с положительна. Если скорость волны отрицательна, то устойчивость схемы обеспечивается при использовании разностей вперед. Этот вопрос будет более подробно рассмотрен в гл. 6 при описании метода расщепления коэффициентов матриц. При использовании разностей назад разностные уравнения принимают вид

-~- + --д >0. (4.7)