цируя (4.10) по времени, получаем

(4.11)

a дифференцируя (4.10) no x и умножая на -с, находим

+ -«....+ .... (4.12) Складывая (4.11) и (4.12), получаем

Щг == + А/ + 4- Щ, + О (АО) +

+ Аа: (-f - и,, + О (Аа:)) . (4.13)

Аналогично можно получить следующие выражения для производных uttu tittxy Uxxt:

Щн = -сЧхх + о (А/, Ал:),

Uu, = c4xxx + 0{AU Аа:), (4.14)

tixxt = -сихх + о (At, Ах).

Из уравнений (4.10), (4.13) и (4.14) следует, что

ut + cu, = {l-v) ~ (2v2 - 3V -f 1) и,,, +

+ 0((Аа:)з, (Д;)2д Аа:(А02, (Atf). (4.15)

Уравнение, аналогичное (4.15), называют модифицированным уравнением [Warming, Hyett, 1974]. При использовании метода конечных разностей решается на самом деле модифицированное уравнение, а не исходное уравнение в частных производных. Подчеркнем, что для исключения производных по времени высших порядков необходимо использовать именно уравнение, получающееся после подстановки разложения в ряд Тейлора в разностное уравнение, т. е. уравнение (4.10), а не исходное уравнение в частных производных (4.2). Это связано с тем, что решение исходного уравнения обычно не является решением

> В отечественной литературе модифицированное уравнение обычно называют дифференциальным приближением разностной схемы (см., например, работу [40] в списке дополнительной литературы на стр. 712). В первой части книги сохранен термин «модифицированное уравнение», а во второй части книги использован термин «дифференциальное приближение разностной схемы».- Прим. ред.

Таблица 4.1. Процедура определения коэффициентов модифицированного уравнения

±,д,з Е,(4.10) icAr)Eq(4-10)

- сДг

сДгДх

сДхДг о

с Д.\ Дг

- - с Дг ДГ

+ 1сдг

+ дгдх

--сЛхДг* 4сДг

Кез(р(рициенты

1 с о

сДх ,

-3;;+ 1)

-12v + 71- 1)

разностного уравнения, и так как модифицированное уравнение следует из разностного уравнения, то очевидно, что исходное уравнение в частных производных не должно использоваться для исключения производных по времени.

Производные по времени проще всего исключить, используя табл. 4.1. В первой строке таблицы выписываются коэффициенты перед каждым членом уравнения (4.10) (предварительно все члены уравнения переносятся в левую часть). Член уравнения (4.10), содержащий производную utty можно исключить, умножив (4.10) на дифференциальный оператор -{M/2){d/dt) и прибавив результат к первой строке таблицы, т. е. к уравнению (4.10). При этом в уравнении появляется новый член -{сМ12)Щх, который исключается умножением (4.10) на дифференциальный оператор {cAt/2) (д/дх) и сложением результата с первыми двумя строками таблицы. Так поступают до тех пор, пока не будет исключено Tpe6yjeMoe число производных по времени. После этого каждый коэффициент модифицированного уравнения получается простым суммированием коэффициентов, расположенных в соответствующих столбцах таблицы. Необходимые алгебраические вычисления можно провести на ЭВМ, используя, например, язык FORMAC [Flke, 1970].

Правая часть модифицированного уравнения (4.15) является погрешностью аппроксимации, так как она равна разности решений исходного уравнения в частных производных и его конечно-разностного аналога. Следовательно, член наименьшего порядка в правой части модифицированного уравнения определяет порядок точности метода. В рассматриваемом случае метод имеет первый порядок точности, так как член наименьшего порядка имеет порядок 0(Af, Ах). Если v=l, то правая часть (4.15) равна нулю и решение разностного уравнения является точным решением исходного дифференциального уравнения. В этом случае разностная схема с разностями против потока имеет вид

Такая запись разностной схемы эквивалентна точному решению уравнения (4.2) методом характеристик. О конечно-разностной схеме, позволяющей получить точное решение исходного уравнения в частных производных, говорят, что она удовлетворяет «условию сдвига» [Kutler, Lomax, 1971]. Заметим, что погрешность аппроксимации равна разности точных решений модифицированного и волнового уравнений (при периодических граничных условиях).

Главный член в выражении для погрешности аппроксимации в рассматриваемом случае пропорционален производной Uxx, т. е.