Если относительная погрешность в определении фазы при заданном р превосходит единицу, рассчитанная скорость распространения соответствующей гармонической волны оказывается больше точного значения скорости этой волны. Про такие волны говорят, что они распространяются с опережением по фазе. Аналогично, если относительная погрешность в определении фазы меньше единицы, то рассчитанная скорость распространения гармонической волны оказывается меньше точного значения скорости этой волны, поэтому говорят, что такая волна распространяется с отставанием по фазе. При использовании разностей против потока опережение по фазе возникает при 0.5 < v < 1, а отставание -если v < 0.5.

Пример 4.1. Пусть для решения волнового уравнения {с = = 0.75) с начальным условием

и{х, 0) = sin (бял:), 0<jc<1,

и периодическими граничными условиями используется схема с разностями против потока. Определим погрешность в определении амплитуды и фазы волны через десять шагов по времени, если А = 0.02 и Ajc = 0.02.

Решение, В рассматриваемой задаче можно ограничиться одним значением параметра р, так как при заданных граничных и начальном условиях решение волнового уравнения описывается одним членом ряда Фурье. Коэффициент перехода в этом случае определяется также одним членом ряда Фурье, удовлетворяющим волновому уравнению, поэтому частота точного решения совпадает с частотой, используемой для определения коэффициента перехода, т. е. fm = т/2я. Следовательно, в рассматриваемом случае волновое число задается в виде

Теперь можно вычислить р:

р == kx = (6я) (0.02) = 0.12я.

При помощи числа Куранта

сМ (0.75)(0.02) , = "ДГ= (0.02) -

легко определить модуль коэффициента перехода

I GI = [(1 ~ V + V cos р)2 + (- V sin P)2] = 0.986745

И, следовательно, погрешность в определении амплитуды после десяти шагов по времени

(1 -1 G Г) Ло = (1 - I G П (1) = 1 - 0.8751 = 0.1249.

Сравнивая фазовый угол ф после выполнения одного шага по

времени

С его точным значением фе за один шаг

= pv =-0.28274,

получим, что после выполнения десяти шагов по времени ошибка в определении фазы будет равна

10 = 0.0084465.

Сопоставим теперь точное решение волнового уравнения при t = lOA = 0.2 с полученным численно после выполнения десяти шагов по времени. Точное решение имеет вид

и{х, 0.2) = sin [6я{а:-0.15)],

а решение, полученное численно по схеме с разностями против потока, имеет на десятом шаге по времени вид

и{х, 0.2) = (0.8751) sin [6п{х - 0.15) - 0.0084465].

Чтобы показать связь коэффициента перехода и модифицированного уравнения (4.15), запишем это уравнение в виде

Щ + cu, = Z 1 + • (4.20)

Здесь С2п и С2П+1 - коэффициенты перед членами уравнения с производными четного и нечетного порядков по пространству. Уорминг и Хайетт показали, что необходимым условием устойчивости разностной схемы является условие

(-1)-С2,>0, (4.21)

где С21 - коэффициент перед низшей производной четного порядка. Условие (4.21) аналогично требованию положительности коэффициента вязкости в уравнениях движения вязкой жидкости. В уравнении (4.15) коэффициент при низшей производной четного порядка имеет вид

C2--(l-v). (4.22)

которое совпадает с (4.19). Итак, мы показали, что между коэффициентом перехода и видом модифицированного уравнения существует непосредственная связь.

4.1.3. Схема Лакса

Разностную схему (4.6) (метод Эйлера ) можно сделать устойчивой, заменив и"} на пространственное среднее (wjf, + + wJf i)/2. В результате получим широко известную схему Лакса [Lax, 1954], которой мы уже пользовались:

ur-{u?,. + uU)/2,uf -uU (4.26)

Это явная одношаговая схема первого порядка точности с погрешностью аппроксимации О {At, {Ax)/At). Она устойчива при

поэтому необходимое условие устойчивости разностной схемы запишется в виде

(сАх/2)(1 - v)>0, (4.23)

т. е. разностная схема устойчива, если v < 1. Это же условие устойчивости мы получили выше из анализа коэффициента перехода. Следует напомнить, что «эвристическая» теория устойчивости, приводяп;ая к условию (4.21), позволяет получить лишь необходимое условие устойчивости, поэтому для некоторых конечно-разностных схем информация об их устойчивости будет недостаточно полной, а для некоторых разностных схем (используемых, например, для решения уравнения теплопроводности) необходимо привлекать более сложные методы анализа устойчивости.

Уорминг и Хайетт также показали, что относительная погрешность в определении фазы для разностных схем решения волнового уравнения определяется выражением

где km = /Ax - волновое число. Если волновое число мало, то можно ограничиться рассмотрением лишь членов ряда низшего порядка. Для схемы с разностями против потока это приводит к соотношению

1 ~ Т (" 1) (") 3 = 1 - i (2v2 - 3v + 1) р2, (4.25)